奥数专题：几何五大模型(鸟头模型)

鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)DAADEEBCBC图⑴图⑵【例1】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积．AADEDEBCBC【解析】连接BE，S△ADE:S△ABEAD:AB2:5(24):(54)，S△ABE:S△ABCAE:AC4:7(45):(75)，所以S△ADE:S△ABC(24):(75)，设S△ADE8份，则S△ABC35份，所以1份是2平方厘米，S△ADE16平方厘米，△ABC35份就是70平方厘米，的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等page1of11于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADECDAECB【解析】连接BE．B∵EC3AE∴SVABC3SVABE又∵AB5AD∴SVADESVABE5SVABC15，∴SVABC15SVADE15．【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AEB甲DEA乙CB甲D乙C【解析】连接AD．∵BE3，AE6∴AB3BE，SVABD3SVBDE又∵BDDC4，∴SVABC2SVABD，∴SVABC6SVBDE，S乙5S甲．【例2】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2，AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．DDAAEBCBEC【解析】连接BE，S△ADE:S△ABEAD:AB2:5(23):(53)S△ABE:S△ABCAE:AC3:(32)(35):(32)5，page2of11所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25，设S△ADE6份，则S△ABC25份，S△ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？DFABCE【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（32）6倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)．【例4】已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．AFDBEC【解析】S△BDE:S△ABC(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，S△CEF:S△ABC(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8S△ADF:S△ABC(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6设S△ABC24份，则S△BDE4份，S△ADF4份，S△CEF9份，S△DEF244497份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC24平方厘米【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE2:5，BC:CD3:2，三角形BDE的面积是多少？page3of11ABCDEABCED【解析】由于ABCDBE180，所以可以用共角定理，设AB2份，BC3份，则BE5份，BD325份，由共角定理S△ABC:S△BDE(ABBC):(BEBD)(23):(55)6:25，设S△ABC6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE1AC，31CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．3ADEBFC【解析】由题意知AE112AC、CFBC，可得CEAC．根据”共角定理”可得，333S△CEF:S△ABC(CFCE):(CBAC)12:(33)2:9；而S△ABC66218；所以S△CEF4；同理得，S△CDE:S△ACD2:3;，S△CDE183212，S△CDF6故S△DEFS△CEFS△DECS△DFC412610(平方厘米)．【例7】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积．FFABDCEBACED【解析】(法1)本题是性质的反复使用．连接AE、CD．page4of11∵SVABC1，SVABC1，SVDBC1∴SVDBC1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积18．(法2)用共角定理∵在VABC和VCFE中，ACB与FCE互补，∴SVABCACBC111．SVFCEFCCE428又SVABC1，所以SVFCE8．同理可得SVADF6，SVBDE3．所以SVDEFSVABCSVFCESVADFSVBDE186318．【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HHAGDFBCEGADFBCE【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，∴S△ABCABBC111．S△FBEBEBF133又S△ABC1，所以S△FBE3．同理可得S△GCF8，S△DHG15，S△AEH8．所以SEFGHS△AEHS△CFGS△DHGS△BEFSABCD8815+3+236．所以【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四SABCD21．SEFGH3618边形ABCD的面积．page5of11HDAECBGHDCBGFAEF【解析】连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF(CDCB):(CGCF)1:2，即S△CGF2S△CDB同理S△ABD:S△AHE1:2，即S△AHE2S△ABD所以S△AHES△CGF2(S△CBDS△ADB)2S四边形ABCD连接AC，同理可以得到S△DHGS△BEF2S四边形ABCDS四边形EFGHS△AHES△CGFS△HDGS△BEFS四边形ABCD5S四边形ABCD所以S四边形ABCD66513.2平方米【例10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FBCADH【解析】连接AC、BD．FBCADHGEGE由于BE2AB，BF2BC，于是SBEF4SABC，同理SHDG4SADC．于是SBEFSHDG4SABC4SADC4SABCD．再由于AE3AB，AH3AD，于是SAEH9SABD，同理SCFG9SCBD．于是SAEHSCFG9SABD9SCBD9SABCD．那么SEFGHSBEFSHDGSAEHSCFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD12SABCD60．【例11】如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CEBC，F是AC12的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？page6of11AFBDCE【解析】∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，∴S△ABCACBC224．S△FCEFCCE111又SVABC2，所以SVFCE0.5．同理可得S△ADF2，S△BDE3．所以S△DEFS△ABCS△CEFS△DEBS△ADF20.5323.5【例12】如图，S△ABC1，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求SVFGS．AFGBDESC【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得S△FGS的面积为S△FGS【例13】43211543221．10如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？AEFGBCDAEFGDBC【解析】连接AF、EG．因为S△BCFS△CDE8216，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角page7of1114形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SVAEF8，SVEFG8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到SVBFC16，SABFE32，SVABF24，所以SVABG12平方厘米．【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．FHAEBGCD【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形DEF的面积为49．6437712．4916由于FA4a，FB3a，所以AFB与三角形DEF的面积之比为同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为DEF面积的112，所以ABC的面积占三角形491213491313，所以ABC的面积的面积为．349496496【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．EADBC【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以page8of11看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于11121323，所以五边形的面积是1036．6333168、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。page9of11page10of11page11of11