《垂直于弦的直径》练习题

24.1.2垂直于弦的直径5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.图24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3cm和4cm两部分，则这条弦弦长为__________.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：43cm3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴;(2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形.答案:610分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.思路解析：根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.图24-1-2-2图24-1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON，AC=BC弧AM=弧BM3.在图24-1-2-3中，弦AB的长为24cm，弦心距OC=5cm，则⊙O的半径R=__________cm.思路解析：连结AO，得Rt△AOC，然后由勾股定理得出.答案：134.如图24-1-2-4所示，直径为10cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4cm.求弦AB的长.图24-1-2-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.由OM⊥AB可得OM平分AB，即AM=AB.连结半径OA后可构造Rt△，利用勾股定理求解.解：连结OA.∵OM⊥AB，∴AM=AB.∵OA=×10=5，OM=4，∴AM=OA2OM2=3.∴AB=2AM=6(cm).快乐时光医学院的口试教授问一学生某种药每次口服量是多少?学生回答:“5克.”一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?”教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于()A.32B.32121123C.322D.332图24-1-2-5图24-1-2-6思路解析：连结AB、BO，由题意知：AB=AO=OB，所以△AOB为等边三角形.AO垂直平分BC,所以BC=2×答案：B33=33.22.(北京丰台模拟)如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是()D.1cm思路解析：因为AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，连结OA，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=3cm.答案：A3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如图(1)所示.作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA、OC.∵AB∥CD，GH⊥AB，∴GH⊥CD.∵OG⊥AB，AB=12，∴AG=AB=6.同理,CH=CD=8.∴Rt△AOG中，OG=OA2AG2=8.Rt△COH中，OH=OC2CH2=6.∴GH=OG＋OH=14.(2)当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.(江苏连云港模拟)如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5m.秋千向两边摆动时，若最大摆角1212A.3cmB.2.5cmC.2cm(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BC⊥AD于点C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处.过点A、B的铅垂线分别为AD、BE，点D、E在地面上，过B作BC⊥AD于点C.如图.在Rt△ABC中，∵AB=3，∠CAB=60°，∴AC=3×=1.5（m）.∴CD=3+0.5-1.5=2（m）.∴BE=CD=2（m）.答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为2m.5.(经典回放)“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.图24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.连结OC.设圆拱的半径为R米，则OF=（R－22）（米）.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×110=55（米）.根据勾股定理，得OC2=CF2＋OF2，即R2=552＋（R－22）2.解这个方程，得R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5（米）.答案:159.56.如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.121212图24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.思路分析：（1）作AB、AC的中垂线即得圆片圆心O；（2）已知BC和AB的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径R；（3）根据半径的值确定m、n的值.（1）作法：作AB、AC的垂直平分线，标出圆心O.（2）解:连结AO交BC于E，再连结BO.∵AB=AC，∴AB=AC.∴AE⊥BC.∴BE=BC=5.在Rt△ABE中，AE=AB2BE2=3625=11.在Rt△OBE中，R2=52＋（R-11）2，解得R=（3）解:∵5＜∴5＜R＜6.93181112（cm）.=1812＜1811＜189=6，∵n＜R＜m，∴m=6，n=5.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.解：如图，作OM⊥AB于M，连结OB，则BM=AB=×8=4.在Rt△OMB中，OMOB2BM2=5242=3.OP的取值范围是3≤OP≤5.当P与M重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以1212