沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解专题-考点重难点复习(解析版)

整式乘法与因式分解专题考点复习【考点1幕的基本运算】【方法点拨】1、同底数幕的乘法法则：a?aa（m,n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。2、幕的乘方法则：(am)namn(m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘3、积的乘方法则：（ab）ab（n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积4、同底数幕的除法法则:同底数幕相除，底数不变，指数相减【例1】下列运算正确的是（2丄3v5nnnmnmna（a0,m,n都是正整数，且mn）mn）B.(-2a)=-8aX*x=xB、正确;623236A.x+x=x236解：A、不是同类项，不能合并，故选项错误；235624C、x?x=x，故选项错误；D、x*x=x，故选项错误.故选：B.【变式1-1】下列运算正确的是（）A.a?a=aC.a*a=a(a丰0)235236109236B.(-a)=-aD.(-bc)*(-bc)=-bc4222235解：A、a?a=a，故A错误；B、（-a）=-a，故B错误;C、a*a=a(a丰0)，故C正确；D、(-bc)*(-bc)=bc,故D错误；故选：C.【变式1-2】下列运算正确的是（33441094222）44A.(-2ab)?(-3ab)=-54abB.5X2?(3x)=15xC.(-0.16)?(-10b)=-bD.(2X10)(—x10)=10解：A、(-2ab)?(-3ab)=(-2ab)?(-27ab)=54ab，本选项错误;2B、5X2?(3x)=5X?(9x)=45x,本选项错误；3212237nn2n3334432681C、(-0.16)?(-1000b)=160b，本选项错误;D、(2X10)(一X10)=10，本选项正确，故选：nn2n66D.2【考点2幕的混合运算】【方法点拨】掌握幕的基本运算公式是解题的关键【例2】计算：(1)(y)十y?y解：(1)(y)*y?y=y*y?y=y;236661236(2)y+(y)十y-(-y)424422(2)y+(y)十y-(-y)=y+y*y-y=y+y-y=y.【变式2】计算：42442248444444(1)(-1)2019+(n-3.14)°-(丄)-1(2)(-2xy)-(-2xy)+6xy+2xy23326362解：(1)原式=-1+1-3=-3;(2)原式=-8xy-4xy+6xy+2xy=-2xy-2xy636263626362【考点3幕的逆向运算】mn【例3】已知：x=4,x=(1)求x的值；2m8.(2)求x的值；m+n(3)求x3m-2n的值.mn2mm2解：(1)■/x=4,x=8,...x=(x)=16;(2)■/x=4,x=8,.•x+=x?x=4X8=32;(3)■/x=4,x=8,.••x=(x)3*(x)=4*8=1xx【变式3-1】已知10=a,5=b,求:mn3m-2nmn232mnmnmnmn【变式3-2】基本事实：若a=a（a0，且a丰1,m、n都是正整数），贝Um=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！(3)20的值.(结果用含a、b的代数式表示)x150的值;x22的值;2x①如果2X8x16=2，求x的值；②如果2+2=24,求x的值.解：①I2X8X16=2X2X2=2x+2x+1x2xx3x4x1+3x+4xx+2x+1xx22=21+7x=2,「.1+7x=22,「.x=3;x22②...2+2=24,「.2(2+2)=24,二2=4,「.x=2.【考点4整式化简求值】【例4】先化简，再求值：[(2x+y)+(2x+y)(y-2x)-6y]-2y，其中x=-寺，y=3.解：[(2x+y)+(2x+y)(y-2x)-6y]-2y=(4x+4xy+y+y-4x-6y)+2y=(4xy+2y-6y)+2y=2x+y-3,把x=-丄，y=3代入得：原式=2X(-丄)+3-3=-1.2222222[2[2]【变式4】已知将(x^nx+3)(x-2x-m)乘开的结果不含x和x项.(1)求m、n的值；(2)当m、n取第(1)小题的值时，求(m-n)(m+mn+n)的值.解：(1)原式=x-2x-mx+nx-2nx-mnx+3x-6x-3m=x+(n-2)x+(3-m-2n)24323224322232x+(mn+6)x-3m,由乘开的结果不含x和x项，得到n-2=0,3-m-2n=0,解得：m=-1,n=2;(2)当m=-1,n=2时，原式=m+mn+mn-mn-mn-n=m-n=-1-8=-9.【考点5利用乘法公式求值】【例5】已知m-n=3,mn=2,求：(1)(m+n)的值；(2)m-5mn+n的值.解：.m-n=3,mn=2,22222223222233332■'■(1)(m+n)=m+n+2mn=(m-n)+4mn=9+8=17;(2)m-5mn+n=(m+n)-7mn=9-14=-5.【变式5-1】已知有理数m,n满足(m+n)=9,(m-n)=1，求下列各式的值.(1)mn;2222222(2)m+n—mn.解：(m+n)=m+n+2mn=9①，(m-n)=m+n-2mn=1②，(1)①-②得:4mn=8，贝Umn=2;2222223(2)①+②得：2(m+n)=10,贝Um+n=5.所以m+n—mn=5—2=3.222222【变式5-2】已知(a+b)=5,(a—b)=3,求下列式子的值：(1)a+b；(2)6ab.解：(1)v(a+b)=5,(a—b)=3，二a+2ab+b=5,a—2ab+b=3,2222222222•••2(a+b)=8,解得：a+b=4;2222(2)Ta+b=4,「.4+2ab=5,解得：ab=二，•6ab=3.222【考点6因式分解的概念】【方法点拨】因式分解：(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.(2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式(3)分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止【例6】下列从左到右的变形，是因式分解的是()A.(3—x)(3+x)=9—xB.(y+1)(y—3)=(3—y)(y+1)C.4yz—2yz+z=2y(2z—zy)+z2222D.—8X2+8X-2=—2(2x—1)解：A、(3—X)(3+X)=9—X,是整式的乘法运算，故此选项错误；2B、(y+1)(y—3)工(3—y)(y+1),不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、4yz—2yz+z=2y(2z—zy)+z,不符合因式分解的定义，故此选项错误；2D、—8X+8X—2=—2(2X—1),正确.故选：D.22【变式6】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()4Ill22222A•七—1=(土+1)(土—1)B・(a+b)=a+2ab+b2F2矍MC.x-x-2=(x+1)(x-2)D.ax-ay-a=a(x-y)-1A错误；解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B、是整式的乘法，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D错误；故选：C.【考点7分解因式】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分为止！不能分解的不要死搬硬套【例7】分解因式：(1)(3x-2)-(2x+7)解：(1)原式=[(3x-2)+(2x+7)][(3x-2)-(2x+7)]=(3x-2+2x+7)(3x-2-2x-7)=(5x+5)(x-9)=5(x+1)(x-9)；(2)原式=-2(a-4ab+4b)=-2(a-2b).22222(2)8ab-8b-2a22【变式7-1】因式分解：(1)223223xy-18xy+27y(2)x(x-2)+(2-x)22232解：(1)3xy-18xy+27y=3y(x-6xy+9y)=3y(x-3y)；(2)x(x-2)+(2-x)=(x-2)(x-1)=(x-2)(x+1)(x-1).22【变式7-2】分解因式：(1)1-a-b-2ab222(2)9a(x-y)+4b(y-x)22解：(1)原式=1-(a+b)=(1+a+b)(1-a-b)；(2)原式=9a(x-y)-4b(x-y)=(x-y)(9a-4b)=(x-y)(3a+2b)?(3a-2b).【考点8利用因式分解求值】【例8】已知Ax^y-4x+10y+26=0,求6x^—y的值.解：I4x+y2-4x+10y+26=4(x-■)+(y+5)=0,2222222I225・・x二，=y=-5,则原式=3+1=4.【变式8】利用分解因式求值.(1)已知:x+y=1,1，利用因式分解求：x(x+y)(x-y)-x(x+y)的值.2(2)已知a+b=2,ab=2,求—::.-—二'的值.解:(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y)=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y),当x+y=1,xy=-2原式=-2X(-丄)X1=1；,当a+b=2,ab=2时，原式=丄X2X4=4.(2)原式=厶ab(a+b)2【考点9因式分解探究题】【例9】阅读材料：若m-22222mn+2n-8n+16=0,求m,n的值.222解：Tm-2mn+2n-8n+16=0,・(m-2mn+n)+(n-8n+16)=0.•・(m-n)+(n-4)=0,^(m-n)0,(n-4)0,・(m-n)=0,(n-4)222222=0,・n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知:x+2xy+2y+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知：△ABC的三边长a,22b,c都是正整数，且满足：厶ABC的最大边c的值.解：(1)Tx+2xy+2y+2y+1=0,・(x+2xy+y)+(,+2y+1)=0,222222a+b-12a-16b+100=0,求22・(x+y)+(y+1)=0,・x+y=0,y+1=0,22x=1,y=-1,・2x+y=2-1=1,即卩2x+y的值是1.(2)Ta+b-12a-16b+100=0,・(a-12a+36)+(b-16b+64)=0,・•(a-6)+(b-8)=0,・a-6=0,b-8=0,222222・a=6,b=8,T8-6vcv8+6,c8,c为正整数，・8cv14,・△ABC的最大边c的值可能是8、9、10、11、12、13.(3)Ta-5b+2c=20,・a=5b-2c+20,22•••4ab+8c+20c+125=0,・4(5b-2c+20)b+8c+20c+125=0,22・20b-8bc+80b+8c+20c+125=0,・(2b-2c)+(4b+10)+(2c+5)=0,22222・b=c=■—,・a=12.5.6【变式9-1】阅读下列材料，然后解答问题:问题：分解因式：x+3x-4.解答：把x=1代入多项式X+3X-4,发现此多项式的值为3232320,由此确定多项式X3+3X232-4中有因式(X-1)，于是可设X+3X-4=(X-1)(x+mx+n),分别求出m,n的值，再代入X+3X-24=(X-1)(x+mx+n),就容易分解多项式X3+3X2-4.这种分解因式的方法叫“试根法”.(1)求上述式子中m,n的值；(2)请你用“试根法”分解因式：322X+X-16X-16.32解：(1)把X=1代入多项式X+3X-4，多项式的值为0,•••多项式X+3X-4中有因式(X-1),32于是可设X+3X-4=(X-1)(x+mx+n)=X+(m-1)X+(n-m)X-n,32232•m-1=3,n—m=0,「.m=4,n=4,(2)把X=-1代入X+X-16X-16,多项式的值为0,•多项式X+X-16X-16中有因式(X+1),3232于是可设X+X-16X-16=(X+1)(x+mx+n)=X+(m+1)X+(n+m)X-n,32232•m+1=1,n+m=-16,「.m=0,n=-16,•X3