第十一章 压杆稳定 - 湖南工学院精品课程

第十一章压杆稳定本章主要介绍压杆稳定的概念、压杆的临界力与临界应力的计算及适用条件，并简介中长杆的临界应力计算的经验公式和临界应力总图以及提高压杆稳定的措施。第一节压杆稳定的概念在前面讨论受压直杆的强度问题时，认为只要满足杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。然而，在事实上，这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式却呈现出与强度问题截然不同的现象。例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度和厚度分别为20mm和1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为2800N。但是实际上，在压力尚不到40N时，杆件就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。显然，这不属于强度性质的问题，而属于下面即将讨论的压杆稳定的范畴。为了说明问题，取如图11—1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图11—1a、b所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图11—1c、d所示，则原有的直线平衡状态为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破获。上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡，具有临界的性质，此时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。当压杆所受的轴向压力F小于Fcr时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。图11—1压杆经常被应用于各种工程实际中，例如内燃机的连杆（如图11—2）和液压装置的活塞杆（如图11—3），当处于如图所示的位置时，均承受压力，此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。图11—2图11—3第二节临界力和临界应力一、细长压杆临界力计算公式——欧拉公式从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线形状的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。所以，上面使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。2、两端铰支细长杆的临界力计算公式——欧拉公式设两端铰支长度为l的细长杆，在轴向压力F的作用下保持微弯平衡状态，如图11—4所示。图11—4根据前面讨论结果，杆小变形时挠曲线近似微分方程为(a)在图11—4所示的坐标系中，坐标x处横截面上的弯矩为(b)将（b）代入（a），得I若令(d)式（c）可写成(e)此微分方程的通解为(f)上式中的A和B为待定常数，可由杆边界条件确定。边界条件为在x=0处，ω=0在x=l处，ω=0将第一个边界条件代入（f），得B=0于是，式（f）改写为(g)上式表示挠曲线为一正弦曲线，若将第二个边界条件代入式（g）则；Asinkl=0可得：A=0或sinkl=0若A=0，则由式（g）可知，，表示压杆未发生弯曲，这与杆产生微弯曲的前提矛盾，因此必有；sinkl=0由上述条件可得kl=nπ（n=0，1，2，……）（h）或将式（d）代入上式，可得(n=0,1,2,……)（I）上式表明，当压杆处于微弯平衡状态时，在理论上压力F是多值的。由于临界力应是压杆在微弯形状下保持平衡的最小轴向压力，所以在上式中取F的最小值。但若取n=0，则压力F=0，表明杆上并无压力，这不符合上面所讨论的情况。因此，取n=1，可得临界力为：（11—1）上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式。从欧拉公式可以看出，细长压杆的临界力Fcr与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长l的平方成反比。应当指出，若杆两端为球铰支座，则它对端截面任何方向的转角均没有限制，此时式（11—1）中的I应为横截面的最小惯性矩。在临界力作用下，即由式（g）可得即两端铰支压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线，A为杆中点的挠度，可为任意的微小位移。2、其他约束情况下细长压杆的临界力杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。于是，可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而将其它杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。为此，可将欧拉公式写成统一的形式（11—2）式中μl称为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l折算成两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数。几种不同杆端约束情况下的长度系数μ值列于表11—1中。从表11—1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定、另一端铰支，计算长度为l的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l）与长为l的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l。其它约束条件下的长度系数和折算长度可以依此类推。例11—1如图11—5所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l=2m，截面形状为矩形，b=20mm、h=45mm，材料的弹性模量E=200GPa。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b=h=30mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？图11—5解：（1）计算截面的惯性矩由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩（2）计算临界力查表11—1得μ=2，因此临界力为（3）当截面改为b=h=30mm时，压杆的惯性矩为：代入欧拉公式，可得：从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。二、欧拉公式的适用范围1、临近应力和柔度前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示，即将式（11—2）代入上式，得若将压杆的惯性矩I写成式中i称为压杆横截面的惯性半径。于是临界应力可写为“：（11—3）上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式（11—3）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。2、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σp，即：有若设λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：（11—4）则欧拉公式的适用范围为：（11—5）上式表明，当压杆的柔度不小于λP时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。从式（11—4）可知，λP的值取决于材料性质，不同的材料都有自己的E值和σp值，所以，不同材料制成的压杆，其λP也不同。例如Q235钢，σp=200MPa，E=200GPa，由（11—4）即可求得，λP=100。三、中长杆的临界力计算—经验公式、临界应力总图1、中长杆的临界力计算—经验公式上面指出，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限（处于弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。对这类压杆各国大都采用经验公式计算临界力或者临界应力，经验公式是在试验和实践资料的基础上，经过分析、归纳而得到的。各国采用的经验公式多以本国的试验为依据，因此计算不尽相同。我国比较常用的经验公式有直线公式和抛物线公式等，本书只介绍直线公式，其表达式为：cr=a–bλ（11—6）式中a和b是与材料有关的常数，其单位为MPa。一些常用材料的a、b值可见表11—2。几种常用材料的a、b值表11—2λPλP/材料a/MPab/MPaQ235钢σs=235MPa硅钢σs=353MPaσb≥510MPa铬钼钢硬铝铸铁松木应当指出，经验公式（11—6）也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力σs，即σcr=a–bλ≤σs或令（11—7）得式中表示当临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。与λP304577980372331.939.21.123.745.292.141.4530.1991001005550596260000一样，它也是一个与材料的性质有关的常数。因此，直线经验公式的适用范围为＜λ＜（11—8）计算时，一般把柔度值介于与λP之间的压杆称为中长杆或中柔度杆，而把柔度小于的压杆称为短粗杆或小柔度杆。对于柔度小于的短粗杆或小柔度杆，其破坏则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理，则对塑性材料制成的压杆来说，可取临界应力σcr=σs。2、临界应力总图综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λP时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式（11—3）来计算；当＜λ＜λP时，压杆为中长杆（中柔度杆），其临界应力用经验公式（11—6）来计算；λ≤时，压杆为短粗杆（小柔度杆），其临界应力等于杆受压时的极限应力。如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。图11—6即为某塑性材料的临界应力总图。图11—6例11—2图11—7所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=235MPa，直径d=40mm，试分别计算下面三种情况下压杆的临界力：（1）杆长l=1.2m；（2）杆长l=0.8m；（3）杆长l=0.5m。解：（1）计算杆长l=1.2m时的临界力两端铰支因此μ=1惯性半径柔度＞λP=100所以是大柔度杆，应用欧拉公式计算临界力（2）计算杆长l=0.8m时的临界力μ=1，i=0.01m查表11—2可得=62因此＜λ＜λP该杆为中长杆，应用直线经验公式计算临界力（3）计算杆长l=0.5m时的临界力图11—7μ=1，i=0.01m＜=62压杆为短粗杆（小柔度杆），其临界力为第三节压杆的稳定计算当压杆中的应力达到（或超过）其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值〔σcr〕，即：（a）为临界应力的许用值，其值为=（b）式中nst为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并非理想的轴向压杆这一情况。例如，在制造过程中，杆件不可避免地存在微小的弯曲（即存在初曲率）；另外，外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线