(完整版)公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计四川泸县二中吴超教学目标1.知识与技能掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。2.过程与方法通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。3.情感态度价值观培养转化与化归的数学思想。教学重、难点重点：正、余弦定理的应用难点:正、余弦定理的实际问题应用拟解决的主要问题这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题：（1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用（2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用（3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开教学流程知识回顾典例分析小组讨论展示总结1教学过程一、知识方法整合1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有===2、三角形面积公式：SC==3、余弦定理：C中a2=b2=c2=4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等二、典例探究例1[2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=_______（尝试多法）解1：QCDE中，CD1，EC5，EDEC2ED2CD2310cosCED2EC•ED102CED10sinCED1cos10解2：QCD1，EC5，EDC1350CDECsinCEDsinEDCCD•sinEDC10sinCEDEC10解3：等面积法解4：观察角的关系，两角和正切公式解5：向量数量积定义2练1：在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()ππππ0，，π0，，πA.C.6B.63D.3解1：由正弦定理a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知bc≤b2＋c2－a2=2bccosA，即2π1有cosA≥2，所以角A的取值范围为0，3，选择C.解2：∵sin2A=sin2(B+C)=[sinBcosC+cosBsinC]2=sin2Bcos2C+2sinBsinCcosBcosC+cos2Bsin2C≤sin2B+sin2C-sinBsinC∴sinBsinC（1+2cosBcosC）≤2sin2Bsin2C1+2cosBcosC≤2sinBsinC(sinBsinC≠0)π12(cosBcosC-sinBsinC)+1=2cos(B+C)+1≤0∴cosA≥2，A∈0，3小结：已知两边和一边对角或已知两角一边用正弦定理；已知两边及其夹角或已知三边用余弦定理。（1）化角为边，用余弦定理及其变形求解。（2）化边为角，用正弦定理及三角恒等变换求解。（3）遇齐次式，优先考虑正弦定理．（4）注重几何知识的应用（5）在化简恒等式时，不要轻易约去因式.例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AB322coscosBsin(AB)sinBcos(AC)25(1)求cosA的值；(2)若a4uuuruuur2，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影．分析：（1）先降次，然后进行三角恒等变换；（2）先作出三角形，分析已知量，利用正余弦定理求解；（3）向量乘积的几何意义AB3解：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－253B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝，53即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝.533则cos(A－B＋B)＝，即cosA＝.5534(2)由cosA＝，0＜A＜π，得sinA＝，55ab由正弦定理，有，sinAsinBbsinA2所以，sinB＝.a2π由题知a＞b，则A＞B，故B.43根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍5去)．3uuuruuuruuur2故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝.2点评：体现运算求解能力，化归与转化等数学思想讨论展示如图，从气球A上测得正前方的河流的两oo3067岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于____m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考osin670.92，cos67o0.39，数据：osin37o0.60，cos370.80，31.73）解：如图QAC92A30°46mB67°CACBC00sin(18067)sin(670300)AC•sin370920.6BC600sin670.92小结：应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析——准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立数学模型(3)求解——运用正弦定理、余弦定理有序的解出三角形。(4)检验——检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．三、总结提升1.边角互化：熟练使用正、余弦定理2.转化与化归思想：解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换等相结合考查正弦、余弦定理的应用。解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．四、布置作业解三角形练习题单4