微专题：多面体的外接球与内切球

模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）（顶点在底面投影为底面多边形顶点）球半径公式：球包直柱Rh2r22，（r为底面外接圆半径）球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱球包棱直锥锥模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥（顶点在底面投影为底面多边形外接圆圆心）球半径计算方程：hR2r2R2h2r2h2hRr0R222h，微专题：多面体的外接球与内切球[学习目标]1、通过剖析高考题，掌握几何体的外接球和内切球问题，降低对此类题的畏难情绪。2、通过变式演练和归纳总结，体验解决多面体“接”、“切”问题的思维过程，感悟不同方法的要领。[学习重难点]多面体外接和内切问题的解题方法[考情分析]球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。活动一心动入境复习旧知一、常考的多面体的外接球（定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．）二、正多面体的内切球（体中球）锥体的内切球：R．正四面体的内切球半径为边长为a的正方体：边长a的正八面体：R=R=类型一：求外接球半径相关问题活动二灵动探究剖析思路解题技巧一：补形（长方体或者正方体），不需要找出球心的位置即可求出球半径1、墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）图1图2图3例1：几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）例1、棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为图12PcAabCBPcCbAaBPcCbAaB例2、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝3，则棱锥P－AOB的外接球的体积为例2、所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.AxDyyczzxCBabO2OAHO1解题技巧二：定心(关键在确定球心，找球心的位置后利用勾股定理等手段即可求出球半径)1、折叠模型题设：①两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型(如图13)②两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)A图13图11例1：三棱锥PABC中，PAPB,AC半径为.BC1,BAC6CD），则三棱锥PABC外接球的例2：三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，△PAB和△ABC均为P边长为2的正三角形，则三棱锥PABC外接球的半径为.BC2、垂线模型（一条直线垂直于一个平面）:球包直柱、球包直椎A'OH2DHA1ECB3,PBCO（AB例1若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.581πB.2081πC.101π101π5D.20例1、在直三棱柱ABCABC中，AB4,AC6,A,AA4则直三棱柱ABCABC的外接球的表面积为11131111例2.在四面体SABC中，SA平面ABC，SAAC2,AB1,BC积为，则该四面体的外接球的表面变式练习、已知点P、A、B、C均在表面积为36的球面上，其中PB面ABC，BAC300,AC3AB,则三棱锥P-ABC体积的最大值为：3、顶点在底面投影为底面外接圆圆心模型（一个直角三角形，一次勾股定理搞定）题设：正三棱锥、正四面体、以及同一个顶点的棱长相等（如图6）例.在三棱锥PABC中，PAPBPC,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.44D.3图64、顶点在底面投影为底面多边形边上一点（顶点除外）模型（两个直角三角形，两次勾股定理搞定）题设：椎体中两个面相互垂直例2：三棱锥PABC的底面ABC为等腰三角形，C1200,侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂直，AC2,则三棱锥PABC外接球的表面积为.73POCAO1DBPEODH，则三棱锥B类型二：求内切球半径相关问题:正三棱锥正四棱锥PGACOAEDBHFC图14图15三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径，用等体积法，公式为例1、在封闭的直三棱柱ABCABC内有一个体积为4的球与棱柱的所有面都相切，且ABC为正三角形，那么这个三棱柱的表面积是1113例2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑（bienao）。已知在鳖臑M-ABC中，MA平面ABC，MAABBC2,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为课后反馈：在平面四边形ABCD中，ABADCD1,BD2,BDCD,将其沿对角线BD折成每个面都是直角三角形的四面体ABCD，则该四面体内切球的半径为，外接球半径为。类型三：简单的多面体的内切球或外接球的最值问题例题（1）（2018年全国卷3第12题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为体积的最大值为（）A.（2）（2016年全国卷3第11题）在封闭的直三棱柱ABCABC内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是（）1119π32π（A）4π（B）2（C）6π（D）3课后反馈：1.设A，B，C是同一个球的球面上三点，球心为O，AOB90,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36B.64C.144D.2562、三棱柱ABCABC中，AB=BC=AC，侧棱AA底面ABC，且三棱柱的侧面积为3.若该三棱柱的顶点1111都在同一个球面上，则球的表面积最小值为.3B.C.D.活动三互动评说归纳总结阅读回顾1、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）2、解法复习并试试做图论证1、求多面体外接球半径方法：2、求多面体内切球半径常见题型和方法：3、多面体的内切球或外接球的最值问题解决办法：（一）简单多面体外接球的球心的如下结论：结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．1、正四面体可构造正方体．2、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥可构造长方体或正方体3、相对的棱相等的三棱锥可构造长方体或正方体．4、若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．正四面体边长为a，球半径R正方体边长为a，球半径R正四面体边长为a，球半径R