2020年全国1卷 文科数学真题(解析版)-2020全国一文科数学

2020年全国1卷(文数)（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）2则A1.已知集合A{x|x3x40},B{4,1,3,5}，A.{4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}【答案】D【详解】由x23x40解得1x4，所以Ax|1x4，又因为B4,1,3,5，所以A2.若z12ii3，则|z|=（）A.0B.1C【答案】C【详解】因为z1+2ii31+2ii1i，所以z1212它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）.B.B（）B1,3，故选：D.2D.22．故选：C．A.514512C.5142D.512【答案】Ca，【详解】如图，设CDa,PEb，则POPEOEb42221b2ba21b1524()210，解得由题意POab，即b，化简得（负值舍去）.ab2aa42a42故选：C.-1-4.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A.1241B.C.D.2555【答案】A【详解】如图，从O,A,B,C,D5个点中任取3个有{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法，3点共线只有{A,O,C}与{B,O,D}共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21.故选：A105C）的关系，在20个不同的温度5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i1,2,,20)得到下面的散点图：C至40°C之间，由此散点图，在10°下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）2A.yabxB.yabxC.yabexD.yablnx【答案】D【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是yablnx.故选：D.226.已知圆xy6x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B-2-【详解】圆x2y26x0化为(x3)2y29，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为29|CP|22982.故选：B.7.设函数f(x)cos(x)在[π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）π6A.3π10π7π4πB.C.D.2963【答案】C【详解】由图可得：函数图象过点将它代入函数fx可得：cos又4,0，940694,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，943，解得：所以2962224T3所以函数fx的最小正周期为32故选：C8.设alog342，则4a（）A.116B.19C.18D.16aa【答案】B【详解】由alog342可得log342，所以4a9，所以有41，故选：B.9-3-9.执行下面的程序框图，则输出的n=（）A.17【答案】C【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足135因为135所以输出的n21．故选：C10.设{an}是等比数列，且a1a2a31，a2a3+a42，则a6a7a8（）A.12【答案】DB.24C.30D.32【详解】设等比数列an的公比为q，则a1a2a3a11qqa2a3a4a1qa1q2a1q3a1q1qq2q2，因此，a6a7a8a1qa1qa1qa1q1qq故选：D.5675.B.19C.21D.23n100的最小正奇数，1nnn1121n12100，解得n19，2421，2q532.y211.设F1,F2是双曲线C:x1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则△PF1F2的32面积为（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【详解】由已知，不妨设F1(2,0),F2(2,0)，-4-则a1,c2，因为|OP|11|F1F2|，2所以点P在以F1F2为直径的圆上，即F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1||PF2|16，又|PF1||PF2|2a2，22所以4|PF1||PF2||PF1||PF2|2|PF1||PF2|162|PF1||PF2|，222解得|PF1||PF2|6，所以S△F1F2P故选：B1|PF1||PF2|3212.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，ABBCACOO1，则球O的表面积为（）A.64π【答案】A【详解】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，得r24,r2，由正弦定理可得AB2rsin6023，B.48πC.36πD.32πOO1AB23，根据圆截面性质OO1平面ABC，OO1O1A,ROAOO12O1A2OO12r24，球O的表面积S4R264.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2xy20,13.若x，y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为______________.y10,【答案】1【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，-5-目标函数zx7y即：y11xz，77其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：2xy20，可得点A的坐标为：A1,0，xy10据此可知目标函数的最大值为：zmax1701.故答案为：1．14.设向量a(1,1),b(m1,2m4)，若ab，则m______________.【答案】5【详解】由ab可得ab0，又因为a(1,1),b(m1,2m4)，所以ab1(m1)(1)(2m4)0，即m5，故答案为：5.15.曲线ylnxx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】y2x【详解】设切线的切点坐标为(x0,y0),ylnxx1,y11，xy|xx0112,x01,y02，所以切点坐标为(1,2)，x0所求的切线方程为y22(x1)，即y2x.故答案为：y2x.n16.数列{an}满足an2(1)an3n1，前16项和为540，则a1______________.【答案】7n【详解】an2(1)an3n1，当n为奇数时，an2an3n1；当n为偶数时，an2an3n1.-6-设数列an的前n项和为Sn，S16a1a2a3a4a1a3a5a16(a14a16)a15(a2a4)a1(a12)(a110)(a124)(a144)(a170)(a1102)(a1140)(5172941)8a1392928a1484540，a17.故答案为：7.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级频数乙分厂产品等级的频数分布表等级频数A28B17C34A40B20C20（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A级品的概率；加工业务?分厂，理由见解析.（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接【答案】（1）甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；（2）选甲的D20D21-7-【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4，乙厂加工出来的一件产品100280.28；100（2）甲分厂加工100件产品的总利润为A级品的概率为为:4090252050252020252050251500元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为：2890201750203420202150201000元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．.18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°（1）若a=3c，b=27，求ABC的面积；（2）若sinA+3sinC=2，求C.2【答案】（1）3；（2）15.【详解】（1）由余弦定理可得b228a2c22accos1507c2，c2,a23,△ABC的面积S（2）1acsinB3；2AC30，sinA3sinCsin(30C)3sinC132，cosCsinCsin(C30)2220C30,30C3060，C3045,C15.19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥PABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）6.8D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，OAOBOC,PAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，△PAC△PBC，APCBPC90，即PBPC,PAPC，PAPBP,PC平面PAB,PC平面PAC，平面PAB平面PAC；-8-（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为rl3,rl3，OD2l2r22，解得r1,l3，AC2rsin603，在等腰直角三角形APC中，AP在RtPAO中，PO26，AC2262，142AP2OA2三棱锥PABC的体积为VPABC1POS△ABC12336.3324820.已知函数f(x)ea(x2).x（1）当a1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.1【答案】（1）减区间为(,0)，增区间为(0,)；（2）(,).e【详解】（1）当a1时，f(x)e(x2)，f(x)e1，令f(x)0，解得x0，令f(x)0，解得x0，所以f(x)的减区间为(,0)，增