2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）x2y21.设F1，F2为椭圆1的左、右焦点，动点P的坐标为(－1,m)，过点F2的直线与43椭圆交于A，B两点.（1）求F1，F2的坐标；（2）若直线PA，PF2，PB的斜率之和为0，求m的所有整数值.x2y21，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为2.已知椭圆4k（k≠0）的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B.（1）求△PAB面积的最大值；（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围.5x2y23.已知椭圆C:2+2=1(ab0)的离心率为，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点是3abB1，B2，且MB1MB2.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点，试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.1x2y21C16124.已知椭圆的标准方程为，点E(0,1)．（1）经过点E且倾斜角为3π的直线l与椭圆C交于A、B两点，求|AB|．4（2）问是否存在直线p与椭圆交于两点M、N且|ME||NE|，若存在，求出直线p斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率e=且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是22.(1)求椭圆C1与C2的方程；(2)设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于E，F点.(i)求证：直线PA，PB斜率之积为常数；(ii)直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.2，并226.椭圆C一个焦点为F(1,0)，离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程式．e22．（Ⅱ）定点M(0,2)，P为椭圆C上的动点，求|MP|的最大值；并求出取最大值时P点的坐标求．（Ⅲ）定直线l:x2，P为椭圆C上的动点，证明点P到F(1,0)的距离与到定直线l的距离的比值为常数，并求出此常数值．43x2y27.如图，已知椭圆C:221(ab0)的右准线l的方程为x，焦距为23.3ab（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B(1,0)作直线l与椭圆C交于点P,Q（异于椭圆C的左、右顶点A1,A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M.①若M(4,2)，试求点P,Q的坐标；②求证：点M始终在一条直线上.3x2y28.设椭圆21（a3）的右焦点为F，右顶点为A，已知a3113e，其中O为原点，e为椭圆的离心率.|OF||OA||FA|（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围.x2y29.已知椭圆C:1的右焦点为F，右顶点为A，离心离为e，点P(m,0)(m4)满足1612条件|FA|e．|AP|（Ⅰ）求m的值．（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M、N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1、S2，求证：S1|PM|．S2|PN|rrrr10.已知常数m0，向量a(0,1)，b(m,0)经过点A(m,0)，以ab为方向向量的直线rr与经过点B(m,0)，以b4a为方向向量的直线交于点P，其中R．（1）求点P的轨迹方程，并指出轨迹E．（2）若点C(1,0)，当m22时，M为轨迹E上任意一点，求|MC|的最小值．411.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．（Ⅲ）在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得经MP，MQ为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．312.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好在抛物2线x8y的准线上．Ⅰ求椭圆C的标准方程．Ⅱ点P(2,3)，Q(2,3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为3，求四边形APBQ面积的最大值．6（ii）当A，B运动时，满足∠APQ∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．yPBOAQx53x2y213.已知椭圆M:2+21(ab0)过点A(0,1)，且离心率e．2ab（Ⅰ）求椭圆M的方程．（Ⅱ）若椭圆M上存在点B、C关于直线ykx1对称，求k的所有取值构成的集合S，并证明对于kS，BC的中点恒在一条定直线上．3x2y21C:2+21(ab0)1,14.已知椭圆ab的离心率为2，且过点2．若点M(x0,y0)在椭圆CxyN0,0上，则点ab称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l:ykx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．2x2y2e21(ab0)22，且椭圆经过点b15.已知椭圆C的标准方程为a，离心率(0,1)．过右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若|AB|42，求直线l的方程．3（Ⅲ）在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MA，MB为邻边的四边形MATB是菱形，且点T在椭圆上．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．616.已知一个动圆与两个定圆(x2)2y2轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；14922和(x2)y均相切,其圆心的44(2)过点F（2,0)做两条可相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C交于A,B两点,l2与曲线C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线x2交于M，N两点。求证|MF|:|NF|为定值.x2y2117.已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，且过点(23,3)，A，B是椭圆ab2C上异于长轴端点的两点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：x8，且AA1l，垂足为A1，BB1l，垂足为B1，若D(3,0)，且△A1B1D的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值．7试卷答案1.解：（Ⅰ）F1(1,0)，F2(1,0)（Ⅱ）（i）当直线AB的斜率不存在时，由对称性可知m=0.（ii）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得x11,x21.直线PA的斜率为y1mkx1(km)m；直线PF2的斜率为；x11x112y2mkx2(km).x21x21直线PB的斜率为由题意得kx1(km)mkx(km)()20.x112x21化简整理得(4km)x1x23m(x1x2)(4k5m)0.(*)将直线AB的方程yk(x1)代入椭圆方程，化简整理得(4k23)x28k2x4k2120.8k24k212,x1x2.由韦达定理得x1x24k234k23代入(*)并化简整理得16k2m20km0.从而m当k0时，m0；当k0时，|m|故m的所有整数值是－2,－1,0,1,2.2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点P0,1，设点A为x0,y0.因为B是A关于原点O的对称点，所以点B为x0,y0.设PAB的面积为S，则SSPAOSPB02SPAO2因为2x02，所以当x02时，S有最大值2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知P0,1,Bx0,y0(x00,且y01).所以，直线PB的斜率为20k.16k2120|k|20|k|5.16k21216k221POx0x0.21y0x1y0，线段PB的中点为0,，x0228于是PB的中垂线方程为y1y0xx0x0.2y0121x02y02令x0，得N的纵坐标yN.2y01x2y21并化简得(14k2)x28kx0.又直线l的方程为ykx1，将方程代入48k14k2,y0,由题意，x02214k14k8k214k221()()2212k214k14k所以，yN.2214k14k2(1)14k212k21.因为点N在椭圆内部，所以1214k解得22k.4422,0)U(0,).44又由已知k0，所以斜率k的取值范围是(52a2-b2b2b23.(1)由=e==1-2，=，29aaa3依题意，△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3，x2y2所以椭圆C的方程是+=1.94(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x=my+2，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得：(4m2+9y2+16my-20=0，y1+y2=)-16m，y1?y224m+9-20，24m+9若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以KPA+KPB=0，设P(n,0)，则有y1y+2=0，x1-nx2-n将x1=my1+2，x2=my2+2代入得，2my1y2+(2-n)(y1+y2)=0，整理得(2n-9)m=0，99由于上式对任意实数m都成立，所以n=.2骣9综上，存在定点P琪琪,0，使PM平分∠APB.2桫4.解：（Ⅰ）l经过点E(0,1)且倾斜角为所以直线l的方程为yx1，22yx1xx2272联立x，解得或，yy3151y161273π，422362153636∴|AB|．2377777（Ⅱ）设直线p:ykxm，M(x1,y1)，N(x2,y2)，将直线p:ykxm与椭圆联立可得：ykxm2，消去y得(34k2)x28kmx4m2480，xy2116122222∴64k2m24(34k2)(4m248)0，∴16k212m2，8km4m248∴x1x2，x1x2，234k234k设MN中点F(x0,y0)，∴x0x1x24km3mykxm，，00234k234k2∵|ME||NE|，∴EFMN，3m1234kk1，k1，∴4km34k2∴kEF∴m(4k23)代入①可得：16k212(4k23)2，11∴16k48k230，解得k．2211故直线p斜率的取值范围是,．22102x2y2x2y25.(1)依题意e=，设C1:2+2=1，C2:2+2=1，由对称性，四个焦点构成的四22bb2b4b1边形为菱形，且面积S=创2b22b=22，解得：b2=1.2x2x2y22所以椭圆C1:+y=1，C2:+=1.22422x0y0(2)(i)设P(x0,y0)，则+=1，A-2,0，B24()(2,0.)kPA=y0x0+2，kPB=y0x0-2.所以：kPA?kPB22y04-2x0=2=-2.2x0-2x0-2直线PA，PB斜率之积为常数-2.x12(ii)设E(x1,y1)，则+y12=1.2kEA=y1x1+2，kEB=y1x1-2，所以：kEA?kEB12x1y12，同理：kFA?kFB==-2x12-2x0-22211--1，2所以：kFA鬃kFBkFAkFB=1，由kEA=kPA，kFB=kPB，结合(i)有4kEA?kFB-1.86.解：（Ⅰ）根据题意得c1，e∴a2，c1，b1，c2，a2x2故椭圆C的方程为y21．2（Ⅱ）设P点坐标为(x1,y0)2x02，则