高三一轮复习等差数列及其前n项和

等差数列及其前n项和突破点一等差数列的基本运算1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1na1＋and＝.22[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√二、填空题1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．答案：32．在等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．答案：143．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{an}中，已知d＝2，S100＝10000，则Sn＝________.答案：n2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－101a＋b，其中A叫做a，b的等差中项．2C．10D．12解析：选B设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2．已知等差数列{an}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，d0，∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，3a1＋3d＝－3，a1＝2，a1＝－4，∴∴或a1a1＋da1＋2d＝8，d＝－3d＝3.∵d0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，n－4＋3n－7n3n－11∴Sn＝＝.22[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝na1＋an＝na12nn－1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程2(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]an1．已知数列n是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝()A．10C．40B．30D．20an解析：选B法一：设数列n是公差为d的等差数列，a9a312221a15a3∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.939339153ana9a3a15a15122法二：由于数列n是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.931515932．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．()25A.34C.33B．25D．4解析：选C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由2a＋d＝2，5题意知a＋a＝a＋a＋a＝，即253a＋9d＝，211234515a＝3，解得1d＝－6，144故甲得钱，故选C.33．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，a1＝4，所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.d＝2，(2)令cn＝13－an＝11－2n，11－2n，n≤5，bn＝|cn|＝|11－2n|＝2n－11，n≥6，设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.突破点二等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．anS2n－1(6)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则b＝.nT2n－1Sn1(7)若{an}是等差数列，则n也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.2(8)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；3S奇an②S偶－S奇＝nd，＝.S偶an＋1(9)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇n＋1＝.nS偶[基本能力]1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.答案：742．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．答案：23．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一等差数列的性质[例1](1)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝()A．25C．50B．27D．54(2)在等差数列{an}中，若a1，a2019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1010＋a2018＝()A．10C．20B．15D．40[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.(2)因为a1，a2019为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2019＝10.由等差数列的性质可知，a1010＝a1＋a2019＝5，a2＋a2018＝a1＋a2019＝10，2所以a2＋a1010＋a2018＝10＋5＝15.故选B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n1等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)2转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝an－am，S－＝(2n－1)an，n－m2n14Sn＝na1＋anna2＋an－1＝(n，m∈N*)等．22[提醒]一般地，am＋an≠am＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.考法二等差数列前n项和最值问题等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．[例2](2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．[解](1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.又a1＝－7，所以d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)法一：(二次函数法)由(1)得Sna1＋ann＝2＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.法二：(通项变号法)由(1)知ana1＋ann＝2n－9，则Sn＝2＝n2－8n.由San≤0，n最小an＋1≥0，即2n－9≤0，∴792n－7≥0，2≤n≤2，又n∈N*，∴n＝4，此时Sn的最小值为S4＝－16.[方法技巧]求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①ad0时，满足am≥0，10，的项数m使得San取得最大值为Smm＋1≤0；②当a时，满足am≤0，10，d0的项数m使得San取得最小值为Sm.m＋1≥0[集训冲关]1.[考法一]设Sn为公差不为零的等差数列{aSn}的前n项和，若S9＝3a8，则153a等于()55A．15C．19B．17D．21解析：选A因为S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝3a8，即3a5＝a8.又S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8，所以S1515a8＝＝15.3a5a82.[考法一]在项数为2n＋1的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A．9C．11B．10D．12n＋1a1＋a2n＋1na2＋a2n，S偶＝.22解析：选B∵等差数列有2n＋1项，∴S奇＝又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S偶n15010＝＝＝，∴n＝10.S奇n＋1165113.[考法二]等差数列{an}中，Sn为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a1＝25，S17＝S9，∴17a1＋17×169×8d＝9a1＋d，解得d＝－2.22an＝25－2n－1≥0，∵a1＝250，由得a＝25－2n≤0，n＋11n≥122.1n≤13，2∴当n＝13时，Sn有最大值．法二：∵a1＝25，S17＝S9，∴17a1＋17×169×8d＝9a1＋d，22解得d＝－2.从而Sn＝25n＋nn－1(－2)＝－n2＋26n2＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大．突破点三等差数列的判定与证明[典例]各项均不为0的数列{an}满足an＋1an＋an＋21＝an＋2an，且a3＝2a8＝.251(1)证明数列a是等差数列，并求数列{an}的通项公式；n(2)