用空间向量解立体几何题型与方法

.用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔au＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔uv＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.[证明]以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标11系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，1，，2211F0，1，，EF＝－，0，0，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝22(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．1(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.2又AB⊂平面PAB，EF平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为APDC＝(0,0,1)(1,0,0)＝0，ADDC＝(0,2,0)(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC...使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，B1DBA＝0，B1DBD＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.aa(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，1，4，F(0,1,4)，则EG＝，1，1，EF＝(0,1,1)，22B1DEG＝0＋2－2＝0，B1DEF＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.|a||b|(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.|n||a||na||ab|(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，..若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；|n1||n2||n1n2|若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.|n1||n2|例1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．[解](1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，|n1n2|B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．因为cos〈A1B，C1D〉＝＝|A1B||C1D|3所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为A1BC1D1820×1010183＝1010，.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1AD＝0，n1AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面ABA1的一个法向量为n2＝(0,1,0)．设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.n1n2225＝由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.|n||n|33129×15因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.3例2、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．..[解](1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．3，3)．3，0)，A1C＝(0，－设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，nBC＝0，则nBB1＝0.x＋3z＝0，即－x＋3y＝0.nA1C|n||A1C|可取n＝(3，1，－1)．故cosn，A1C＝－10.510所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.5(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．..例3、如图，在四棱锥SABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面3，SE⊥AD.SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC.∵BE⊂平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C(0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－23，0)，CB＝(2，－23，0)，CS＝(0，－23，1)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，nCB＝0，则nCS＝0.2x－23y＝0，即－23y＋z＝0.令y＝1，得x＝3，z＝23，则平面SBC的一个法向量为n＝(3，1,23)．1设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sinθ＝||＝，|n||CE|41故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.4例4、如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图．nCE..(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(－2,0,0)，C(0，－2,0)，C1(－1，－1,2)，则CC1＝(－1,1,2)，A1C1＝(－1，－1,0)，A1C＝(0，－2，－2)．设E(x，y，z)，则CE＝(x，y＋2，z)，EC1＝(－1－x，－1－y,2－z)．设CE＝λEC1(λ0)，x＝－λ－λx，则y＋2＝－λ－λy，z＝2λ－λz，－λ－2－λ2λ，，，则E1＋λ1＋λ1＋λ2＋λ－2－λ2λ，，.BE＝1＋λ1＋λ1＋λBEA1C1＝0，由BEA1C＝0，得－2－λ2λ1＋λ＋1＋λ＝0，2＋λ2＋λ－＋＝0，1＋λ1＋λ解得λ＝2，所以线段CC1上存在一点E，CE＝2EC1，使BE⊥平面A1CC1.mA1C1＝0，(2)设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由mA1C＝0，得..－x－y＝0，－2y－2z＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝|m||n|mn133＝，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.333利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)．(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出在，请说明理由．[解](1)在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，20)，DF＝(1，3，0)，DE＝(0，3，0)，E(0，3，1)，F(1，3，BPBC的值；如果不存3，1)，DA＝(0,0,2)．平面CDF的法向量为DA＝(0,0,2)．设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，DFn＝0，则DEn＝0，x＋3y＝0，即3y＋z＝0，取n＝(3，－3，3)，..2121cos〈DA，n〉＝＝，所以二面角EDFC的余弦值为.77|DA||n|DAn(3)存在．设P(s，t,0)，有AP＝(s，t，－2)，则APDE＝233，3t－2＝0，∴t＝又BP＝(s－2，t,0)，PC＝(－s,23－t,0)，∵BP∥PC，∴(s－2)(23－t)＝－st，∴3s＋t＝223.把t＝341代入上式得s＝，∴BP＝BC，333∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.此时，1论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2BP1BC3＝.题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D为AA1中点，求证