北师大版高中数学必修五《数列知识点总结》

数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：an+1−an=d（d为常数），an=a1+(n−1)d等差中项：x，A，y成等差数列2A=x+y前n项和Sna1+an)n(==na2n(n−1)d1+2性质：an是等差数列（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；（2）数列a2n−1,a2n,a2n+1仍为等差数列，Sn，S2n−Sn，S3n−S2n……仍为等差数列，公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为a−d，a，a+d（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则amS2m−1=bmT2m−1（5）an为等差数列Sn=an2+bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）Sn的最值可求二次函数Sn=an2+bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，an0即：当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.a0n+1an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值.an+10(6)项数为偶数2n的等差数列an有，S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n−1)==n(an+an+1)(an,an+1为中间两项)SaS偶−S奇=nd，奇=n.S偶an+1（7）项数为奇数2n−1的等差数列an，有S2n−1=(2n−1)an(an为中间项)，S奇n=S奇−S偶=an，.S偶n−12.等比数列的定义与性质定义：an+1=q（q为常数，q0），an=a1qn−1.an等比中项：x、G、y成等比数列G2=xy，或G=xy.na1(q=1)前n项和：Sn=a1(1−qn)（要注意！）(q1)1−q性质：an是等比数列·an=ap·aq（1）若m+n=p+q，则am（2）Sn，S2n−Sn，S3n−S2n……仍为等比数列,公比为qn.1注意：由Sn求an时应注意什么？n=1时，a1=S1；n2时，an=Sn−Sn−1.3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列an，111a1+2a2+……+nan=2n+5，求an222①解n=1时，a1=21+5，∴a1=1412111n2时，a1+2a2+……+n−1an−1=2n−1+5②22214(n=1)1n+1①—②得：nan=2，∴an=2，∴an=n+122(n2)5［练习］数列an满足Sn+Sn+1=an+1，a1=4，求an3S注意到an+1=Sn+1−Sn，代入得n+1=4又S1=4，∴Sn是等比数列，Sn=4nSn；·4n−1n2时，an=Sn−Sn−1=……=3（2）叠乘法如：数列an中，a1=3，n+1=an，求anann+1aaa12n−1a31解2·3……n=·……，∴n=又a1=3，∴an=a1a2an−123nn.a1n（3）等差型递推公式由an−an−1=f(n)，a1=a0，求an，用迭加法a3−a2=f(3)n2时，两边相加得an−a1=f(2)+f(3)+……+f(n)…………an−an−1=f(n)∴an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)1na=n−1［练习］数列an中，a1=1，an=3+an−1(n2)，求an（n2(3−1)）（4）等比型递推公式an=can−1+d（c、d为常数，c0，c1，d0）可转化为等比数列，设an+x=c(an−1+x)an=can−1+(c−1)x令(c−1)x=d，∴x=a2−a1=f(2)ddd，∴an+是首项为a+，c为公比的等比数列1c−1c−1c−1ddn−1dn−1d=a1+·ca=a+c−∴an+，∴n1c−1c−1c−1c−1（5）倒数法22an，求anan+2a+2111111由已知得：=n−==+，∴an+1an+1an22an2an如：a1=1，an+1=111111=1+n−1·为等差数列，，公差为，∴=1()=(n+1)，an222a1an2∴an=n+1∴(附：公式法、利用an=S1(n=1)Sn−Sn−1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an+1=pan+q或an+1=pan+f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)求数列前n项和的常用方法4.(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求1aak=1kk+1n11111解：由==−(d0)ak·ak+1ak(ak+d)dakak+1n11111111111=−=−+−+……+−∴ak+1da1a2a2a3k=1akak+1k=1dakanan+1n=111−da1an+1［练习］求和：1+111++……+1+21+2+31+2+3+……+n1an=……=……，Sn=2−n+1（2）错位相减法若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由Sn−qSn，求Sn，其中q为bn的公比.如：Sn=1+2x+3x2+4x3+……+nxn−1①—②(1−x)Sn=1+x+x2+……+xn−1−nxn①②x·Sn=x+2x2+3x3+4x4+……+(n−1)xn−1+nxnx1时，Sn1−x)nx(=−n(1−x)2n(n+1)，x=1时，Sn=1+2+3+……+n=21−xn（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.3Sn=a1+a2+……+an−1+an相加2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+…+(a1+an)…Sn=an+an−1+……+a2+a1x2［练习］已知f(x)=，则1+x2111f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=23421x2x21x1+=+=1由f(x)+f=2222x1+x11+x1+x1+x11111∴原式=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=+1+1+1=322342(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)4