通用版2020学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十六临界知识问题理

课时跟踪检测（二十六）临界知识问题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()yxyx＋3A．＝10yx＋4B．＝10yx＋5C．＝10D．＝10解析：选B法一：特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.xmαααx＋3mα＋3mx法二：设＝10＋(0≤≤9)，当0≤≤6时，10＝＋10＝＝10，当αx＋3mα＋3mx＋1，所以选B.6＜≤9时，10＝＋10＝＋1＝102．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)B．f(x)＝2－|x－1|C．f(x)＝2x－x2D．f(x)＝x－sinx解析：选D因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”；令2－|x－1|＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；作出y＝x2和y＝2x的图象，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”；因为f(x)＝x－sinx在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sinx不是“含界点函数”．3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝xsinx；⑤y＝x中，属x2＋x＋1于有界泛函数的序号是．y＝2≤2；解析：当≠0时，①xx则④＝|sin|≤1；⑤＝≤yxy14xxx2＋x＋13y2xx2y对于②，当x≥4时，2x≥x2，x＝x≥x＝|x|无界；对于③，当x≠0时，x＝|x|无界．故填①④⑤.答案：①④⑤4．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x∈D使得当x∈D且x＞x时，总有x→∞时f(x)－g(x)→0，00则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x|x＞1}的三组函数如下：①f(x)＝x2，g(x)＝x；2x－3②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝x；2x2③f(x)＝x，g(x)＝2(x－1－e－x)，＋1其中，曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是．(填序号)解析：f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0.xx→0，对于③：f(x)＝2x2x，g(x)＝2(x－1－e－x)，＋1当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝－2＋2＋2→0，1ex1＋x因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③.答案：②③fxx－15＋1(0＜x＜100)的值域．([x]表示不大于x的最大整数)5．求函数()＝15xx解：①当0＜x＜15时，得0＜＜1，15x＝0，f(x)＝1.15.对于①：f(x)＝x2，g(x)＝x，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝x(xx－1)→＋∞，所以①不存在；对于②：f(x)＝10－x＋2，g(x2x－3)＝x，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x1)＝103＋所以存在分渐近线；n23153文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.x－153②当15≤＜100时，－1≤x＜－，20fxx＋1，所以()＝－15x1002x因为1≤＜15＝6，所以15＝1,2,3,4,5,6，f(x)＝0，－1，－2，－3，－4，－5.所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}．6．已知上凸函数f(x)在定义域内满足fx＋xfx＋fx.若函数y＝sinx22＞122在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC中，求sinA＋sinB＋sinC的最大值．解：因为y＝sinx在(0，π)上是上凸函数，则1ABCA＋B＋Cπ3ABC33，(sin3＋sin＋sin)≤sin3＝sin3＝2，即sin＋sin＋sin≤2当且仅当sinA＝sinB＝sinCABCπ时，即＝＝＝3时，取等号．故sinA＋sinB＋sinC33.的最大值为211117．已知不等式＋＋…＋＞[log232n]，其中2n为大于2的整数，[logn]表示不超过2nalogn的最大整数．设数列{a}的各项为正，且满足a＝b(b＞0)，a≤n－1，n＝2,3,4，….2(1)证明a＜n12b，n＝3,4,5，…；nn＋an－1n2＋b[logn]2NnNba1(2)试确定一个正整数，使得当＞时，对任意＞0，都有＜.解：(1)证明：法一：因为当n≥2时，0＜a≤n5nan－1，1n＋a11111nn＋an－1所以a≥nan－1＝a＋n，即a－a≥n，nn－1n－1nn－1111111111于是有a－a≥，a－a≥，…，a－a≥n.232132nn－111111所有不等式两边相加可得a－a≥＋＋…＋n.n1n111n由已知不等式知，当≥3时，有－＞[log]．aa22n11112＋b[logn]因为a＝b，所以＞＋[logn]＝2.1ab222bn1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.12所以a＜文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.2b.n2＋b[logn]2法二：设fn111ba≤，n＝()＝2＋3＋…＋n，首先利用数学归纳法证不等式n1＋fnb3,4,5，….①当n＝3时，由a≤3a33b＝≤＝知不等式成立．33＋a32＋a1＋f3b2a＋13·22a1＋11②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，不等式成立，即a≤b，则a≤k＋1ak＝k＋1k1＋fkbk＋1k＋1＋akk＋1a＋1kk＋1k＋1b≤1＋fkb＝k＋1＋k＋1fkb＋bk＋1·b＋1bb＝1＝1＋fk＋1b，1＋fk＋kb＋1即当n＝k＋1时，不等式也成立．b由①②知，a≤，n＝3,4,5，….n1＋fnb又由已知不等式得a＜b2b＝，n＝3,4,5，….n12＋b[logn]1＋[logn]b2222b221(2)因为bn＜n，令n＜，2＋[log2][log2][log]52则有logn≥[logn]＞10n＞210＝1024，22故取N＝1024，可使当n＞N时，都有1a＜.n58.如图，已知异面直线a，b成60°角，其公垂线段(指与a，b直线垂直相交的线段)EF＝2，长为4的线段AB的两端点A，B分别在直线a，b上运动．(1)指出AB中点P的轨迹所在位置；(2)求AB中点P的轨迹所在的曲线方程．解：(1)设EF的中点O，而P为AB的中点，故O，P在EF的中垂面α上，从而P点轨迹在EF的中垂面α上．(2)设A，B在面α上的射影为C，D，则由AP＝PB＝2，AC＝BD＝1，得CD＝23.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.因为a∥OC，b∥OD，所以∠COD＝60°.在平面α内，以O为原点，∠COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系如图．设C点的坐标为(3t，t)，D点坐标为(3t，－t)，则P点坐标(x，1122x＝3y2t＋t，12)满足y1t－t，＝212因为CD＝23，所以[3(t－t)]2＋(t＋t)2＝12.1212x2所以9＋y2＝1，故P点轨迹在EF的中垂面α上，且轨迹为椭圆．x2y29．设P为椭圆＋＝1长轴上一个动点，过P点斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若2516|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值．Pa,x＝a＋tcosθ，解：设点的坐标为(x2y20)，直线方程为y＝tsinθ代入椭圆方程＋＝1得(16cos2θ＋25sin2θ)t2＋32acosθt＋16a2－400＝0.2516所以t＋t＝－32acosθ，tt＝16a2－400.1216cos2θ＋25sin2θ1216cos2θ＋25sin2θ所以|PA|2＋|PB|2＝t2＋t2＝(t＋t)2－2tt121212－32acosθ16a2－400＝2－2×16cos2θ＋25sin2θ16cos2θ＋25sin2θ16cos2θ－25sin2θa2＋400cos2θ＋625sin2θ＝32×.16cos2θ＋25sin2θ2因为|PA|2＋|PB|2的值与P无关就是与a无关，所以16cos2θ－25sin2θ＝0，所以k＝4±.510．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆1C分割成弧长的比值为的两段圆弧，为什么？2解：(1)当m＝0时，直线l的斜率为0；m1当m≠0时，直线l的斜率k＝＝.m2＋1m1＋m1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.m文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.mm1k1m当＞0时，＋m≥2，所以0＜≤；当2＜0时，m11k＋≤－2，所以－≤2l＜0.11所以直线的斜率的取值范围是－，.22Cld|4m＋2m2＋1－4m|2m2＋1.(2)法一：因为圆心(4，－2)到直线的距离＝＝m2＋m2＋12m4＋3m2＋1若直线l能将圆1C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.2r所以d＝＝1，即2(m2＋1)＝m4＋3m2＋1，化简得3m4＋5m2＋3＝0.2而此方程无实数解，所以直线l不能将圆1C分割成弧长的比值为的两段圆弧．2法二：因为直线l的方程可化为：(m－4)x－(m2＋1)y＝0，所以直线l恒过点(4,0)，此点正好是圆C与x轴的切点，由几何知识可得要使直线l能将圆1C分割成弧长的比值为的2llk11两段圆弧，则直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为±3，这与∈－，矛盾，所以直线l不能将圆221C分割成弧长的比值为的两段圆弧．21文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.