【XXXX全国数学考试评价会议】王敏洁 代数与课题学习考法分析

“数与代数”和“课题学习”考法分析后的几点随想一、用代数知识解决实际性问题的考法再梳理1、多彩的试题背景题1（09安徽省试题）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系式是（）A．12%7%%x112%17%21%xB．12%7%2%x·C．2112%17%1%xD．题2（09河北省试题)如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的,另一根露出水面的长度是它的,两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是cm．1315题3(09潍坊市试题)（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图2所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．ADCBPQDCAB图1O1O2图2要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图1所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的,求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．14题4（09沈阳市试题）先阅读下列材料，再解答后面的问题．材料：密码学是一门很神秘、很有趣的学问．在密码学中，直接可以看到的信息称为明码，加密后的信息称为密码，任何密码只要找到了明码与密码的对应关系—蜜钥，就可以破译它．密码学与数学是有关系的．为此，八年级一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种蜜钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母—明码对照表”：字母ABCDEFGHIJKLM明码12345678910111213字母NOPQRSTUVWXYZ明码14151617181920212223242526例如：以y＝3x＋13为蜜钥，将“自信”二字进行加密转换后得到下表：汉字自信拼音ZIXIN明码：x26924914蜜钥：y＝3x＋13密码：y9140因此，“自”字经加密转换后的结果是“9140”．(1)请你求出当蜜钥为y＝3x＋13时，“信”字经加密转换后的结果；(2)为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换蜜钥．若“自信”二字用新的蜜钥进行加密转换后得到下表：汉字自信拼音ZIXIN明码：x26924914蜜钥：y＝kx＋b密码：y7636请求出这个新的蜜钥，并直接写出“信”字用新的蜜钥加密转换后的结果．2、多样的呈现方式题1(09新疆试题)甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？李明同学是这样解答的：设甲同学打印一篇3000字的文章需要x分钟，根据题意，得(1),3000240012xx解得：x=50．经检验x=50是原方程的解．（2）答：甲同学每分钟打字50个，乙同学每分钟打字38个．（3）（1）请从（1）、（2）、（3）三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正确的步骤改正过来．（2）请你用直接设未知数列方程的方法解决这个问题．题2（09天津市试题）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm20cm30cmDCAB图②图①30cm分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB=____________________________cm；AD=____________________________cm；矩形ABCD的面积为_____________cm2；列出方程并完成本题解答．题3(09江苏省试题)一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．133、以“方程”、“不等式”、“函数”的有机融合丰实内容题1(09河南省试题)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：价格种类进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰箱24002500洗衣机16001700（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？题2（09河北省试题）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图是裁法一的裁剪示意图）60404015030单位：cmABB裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m=，n=；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？60404015030单位：cmABB裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn4、以文字、图像、列表的巧妙配合深化思考①②批发量（kg）206045O（1）①②批发单价（元）206045O题1(09安徽省试题)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量n（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.O金额w（元）批发量n（kg）204060100200300日最高销量（kg）（6，80）（7，40）6040O2468零售价（元）图（2）（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．题2（09江西省试题）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？S（米）t（分）BOO360015A题3（09江苏省试题）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．五月份销售记录Ox（万升）y（万元）CBA45.5101日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．五月份销售记录Ox（万升）y（万元）CBA45.510（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）二、几何与代数综合题的考法归纳1、基本方式一———在图形中引入动元素题1(青岛市试题)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0t5）．解答下列问题：AEDQPBFC（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．225PEQBCDSS△△AEDQPBFC题2（09江西省试题）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，，∠B=60º.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x.ADEBFC图1①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.ADEBFC图4(备用)ADEBFC图5(备用)图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM2、基本方式二———将图形置于坐标系内题1（09北京市试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(–6,0),B(6,0),C(0,)延长AC到点D，使CD=AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；3421yDECBOAx11yDECBOAx11HSMTGF(3)设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）．yDECBOAx11yDECBOAx11HSMTGF题2（09兰州市试题）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（