水污染协同控制与合作博奕的核心

李嘉，张建高四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室，成都（610065）E-mail：[e-mail]摘要：本文以一维河流单种污染物的水污染协同控制理论模型为基础，介绍了n人合作博奕的一个重要解概念，核心（Core）。详细讨论了核心作为污染浓度控制量分配方案的意义和作用，以及核心与水污染协同控制基本原则的关系。关键词：水污染，协同控制，核心中图分类号：X5221．引言在参考文献[1]中，我们对一维河流单种污染物的水污染控制问题，建立了水污染协同控制的理论模型。以这个用合作博奕模型描述的水污染协同控制理论模型为基础，根据总量控制思想方法、系统规划原理和合作博奕思想及其博奕原理，在参考文献[2]中，提出了水污染协同控制理论的基本思想和基本原则，奠定了水污染协同控制理论的一般框架。在本文中，我们将介绍n人合作博奕的一个重要解概念——核心（Core）的概念，并详细讨论核心作为污染浓度控制量分配方案的意义和作用，以及核心与水污染协同控制基本原则的关系。为此，我们先将一维河流单种污染物的水污染协同控制理论模型简单叙述如下。设在一维河流段AB上只有一个监测点B，有n个污染源：1,2,,n，设污染源i的排放量是Qi，排放浓度是ci（i=1,2,,n），则该河流段和污染源分布可以用下面的图1来描述。图1河流段和污染源分布假定所有污染源都只排放一种污染物质，国家要求在B点这种污染物质的浓度不超过pB，并且在点A处的水质是达到国家要求标准的（即浓度≤pB）。如文献[1]中那样，我们用N={1,2,,n}表示n个污染源的全体，其中任意k个污染源所组成的小集体称为一个污染源联盟（简称联盟），并用S⊆N来表示联盟。在所有污染源中，只有联盟S中的污染源排放污染物质时，造成的监测点B处污染浓度记为c(S)，假设对每个S⊆N，c(S)已知。如文献[1]中所指出的那样，一维河流单种污染物的水污染浓度控制问题等价于下述问题：一维河流单种污染物问题：如何根据c(S)（所有的S⊆N）来确定污染源i应该控制（或允1本课题得到教育部博士学科点专项科研基金资助（水污染协同控制下的合作博弈模型研究20040610040）。z1z2zi水流方向znzzzz污染源1污染源2污染源i污染源nAB许）的排放浓度和排放量，使c(N)≤pB；并且所确定的排污标准，对所有的污染源都是公平合理的。为了解决这个问题，我们在文献[1]中定义了污染源联盟S对监测点B的超标浓度贡献如下：任给S⊆N，污染源联盟S对监测点B的超标浓度贡献，简称浓度贡献是v(S)=max(c(S)−pB,0)。显然，污染源联盟S对监测点B的超标浓度贡献v(S)是要求监测点B处的水质是达到国家标准的污染源联盟S应该控制最小浓度。在文献[1]中，我们证明了：关于一维河流单种污染物的水污染控制问题，在多数稳态情形下，定义在N的子集（即所有污染源联盟）S上的超标浓度贡献v(S)构成一个n人合作博奕。因此，可以借鉴n人合作博奕理论方法来研究水污染协同控制问题。为此，我们先将超标浓度贡献v(S)的基本性质总结如下。超标浓度贡献的基本性质：性质1．空联盟∅的超标浓度贡献v(∅)=0。性质2．超标浓度贡献v满足超可加性，即，如果T和S是两个没有相同污染源的联盟，那么T和S中的所有污染源组成一个大联盟时，大联盟的超标浓度贡献不低于联盟T和S的超标浓度贡献之和，用数学形式表示为：任何T∩S=∅，则v(T∪S)≥v(T)+v(S)。性质3．全体污染源同时排放污染物时的超标浓度贡献大于或等于各个污染源单独排放（这里单独排放是指只有一个污染源排放，其它污染源不排放）污染物时的超标浓度贡献之和，即v(N)≥v({1})+v({2})++v({n})。为了进一步研究一维河流单种污染物的水污染控制问题，我们需要介绍n人合作博奕的重要解概念——核心（Core）及其一些相关概念。奕。因此，可以借鉴n人合作博奕理论方法来研究水污染协同控制问题。为此，我们先将超标浓度贡献v(S)的基本性质总结如下。绍n人合作博奕的重要解概念——核心（Core）及其一些相关概念。2．预分配方案的优超（domination）及其在水污染协同控制中意义为了借鉴n人合作博奕理论方法来研究水污染协同控制问题，首先应该了解的重要概念是优超的概念，为此，我们需要对文献[1]中的浓度贡献控制量预分配方案给出一个正式的定义。设x=(x1,x2,,xn)是要求每个污染源对监测点B的浓度贡献控制量（其中xi是要求污染源i控制的对监测点B的浓度影响），如果x满足下面的条件：（1）要求所有污染源控制的对监测点B的浓度影响之和等于全体污染源组成的联盟对监测点B的超标浓度贡献，其数学表示为：x1+x1++xn=v(N)；（2）要求每个污染源i控制的对监测点B的浓度影响至少是该污染源i单独排放污染，污染源i对监测点B的超标浓度贡献，其数学表示为：})({ivxi≥，对每一个i∈N。满足条件（1）和（2）的浓度贡献控制分配x被称为是一维河流单种污染物水污染控制问题的一个浓度贡献控制量预分配方案，简称为预分配方案（imputation）。根据超标浓度贡献的性质3，我们知道预分配方案是存在的。因此，一个分配给各个污染源的浓度贡献控制量分配方案，显然首先必须是一个预分配方案。定义2中的条件（1）即是我们在文献[2]中所提出的协同控制原则的数学表述，而条件（2）则是文献[2]中的个体合理性原则的数学表述。根据最大化原则的含义，不难看出条件（1）还使最大化原则成立。换句话说，如果某个浓度贡献控制量分配方案不是一个预分配方案，则要求所有污染源应该控制的对监测点B的浓度贡献xi之和必然大于或者等于v(N)，从而允许所有污染源可以排放的污染物总量，当换算成对监测点B的总浓度贡献时，必然比采用预分配方案时要小。按照文献[1]中的记号，我们把定义在污染源联盟S上的超标浓度贡献v(S)构成一个n人合作博奕记为Γ≡(N,v)或简记为v；把所有预分配方案所成之集记为X(Γ)或X(v)。下面，我们来引入n人合作博奕中两个预分配方案的优超（domination）概念，并分析优超概念用于水污染协同控制中时，它的作用和性质。优超：（domination见[3]，[4]）．设x和y是两个预分配方案，S是一个污染源联盟。我们说x通过联盟S优超y（记为：x;Sy），如果（ⅰ）xiyi，对每个i∈S，（ⅱ）)(SvxiSi≤∑∈。我们说x优超y（记为：x;y），如果存在某个联盟S使得x;Sy。一般的n人合作博奕理论，通常考虑的都是局中人的效用最大化问题。博奕的特征函数v(S)是联盟S中的局中人作为一个整体，与不在该联盟中（即在N−S中）的局中人所结成的另一个团体，进行对抗性博奕时，该联盟S所能获得的最大效用（或效益）。这样一来，如果x通过联盟S优超y，就表示：对S中的每一个局中人来说，预分配方案x都明显地比y要好，也就是说，按照预分配方案x进行利益分配时，S中的每一个局中人都要比按照预分配方案y进行利益分配时所得到的要多；同时，联盟S中的所有局中人按照x分得的利益之总和不超过这个联盟的效益，这表示联盟S中的局中人有能力获得预分配方案x所提供给他们的利益。但是，在我们的水污染协同控制理论中，显然每一个局中人（污染源）都希望多贡献而少分配，即多排放污染物，少控制排污量和排放浓度。在这种情形下，必须给优超概念赋予新的含义，使它仍然能适用于水污染协同控制中的负担分配型合作博奕。为此，我们需要下面的命题。命题1．设xi是在整体联盟N中分配给污染源i的浓度贡献控制量，f(z)是一维降解因子（如文献[1]中的关系（2）和定义1所描述），污染源分布和监测点B如图1所示。设QNew和cNew是要求污染源i进行控制之后的新排污量和新浓度，则QNew和cNew满足下面的关系：)1)((NewiiiiiNewQQFxQQQcc+−+≤，（1）其中∏=+−=nikkkizzfF)(1，zn+1=0，Q是河流在AB段的流量。该命题可以这样来论证．由于xi是分配给污染源i的浓度贡献控制量，污染源i单独排放污染时（单独排放污染的含义始终是指：只有这一个污染源排放污染，其它污染源都不排放污染），河流在该源所在之处的浓度不得超过−+=−=)0(。（2）设污染源i按要求进行了排污量和浓度控制，根据个体合理性和对自然降解能力的竞争，源i可以使河流在该源之处的浓度达到上面的最大允许值，因此iNewNewNewcQQQc≤+，即)1(NewiNewQQcc+≤。这就是公式（1）。由命题1可知，当污染源i不改变排污量Qi时，该源应降低的排污浓度至少是)1(iiiiQQFxc+=∆；（3）反之，该源不改变排污浓度ci时，应减少的排污量至少是)()(2QQxQFcQQxQiiiiiii+++=∆。（4）如果（3）式中的∆ci≥ci，或者（4）式中的∆Qi≥Qi，则要求污染源i彻底治理污染，进行无污染排放。命题2（环境容量掠夺定理）．设x=(x1,x2,,xn)∈X(v)是一个预分配方案，如果存在某个联盟S使得)(SvxiSi∑∈，则有（1）存在某个预分配方案y通过联盟S优超x；（2）即使在河流段AB（见图1）中，联盟S以外的所有污染源都进行无污染排放，在监测点B处的水质仍然不能达到要求的水质标准，即B处的污染浓度将大于pB；（3）设i是联盟S中处于最上游的一个污染源，那么，任何处于污染源i到监测点B之间的不在联盟S中的其它污染源，要使水质不进一步恶化，都必须进行无污染排放。命题2中的第一个结论的论证可以在任何一本介绍合作博奕的书上找到（见[4]），而结论（2）和结论（3）显然是对的，这可由超标浓度贡献v的定义与v满足性质2中所描述的超可加性直接获得。根据命题2中的结论（2）和（3），我们可以将优超概念解释如下。优超概念在水污染协同控制理论中的含义：如果预分配方案y通过污染源联盟S被x优超，则y将受到污染源联盟S以外的（即在联盟N−S中）所有污染源的抵制和反对。因为当采用浓度贡献控制方案y时，即使让污染源联盟S占有全部环境容量，也不能使监测点B的水质达到国家标准；同时，让联盟S拥有全部环境容量也是不合理的。3．核心（Core）及其在水污染协同控制中作用使用优超的概念，我们得到一个公平合理的浓度贡献控制量分配方案x，应该不能被其它的方案y优超。这就自然地引出了合作博奕中的核心（Core）概念。核心（Core，参见文献[3]，[4]）：一个n人合作博奕Γ≡(N,v)的核心是该博奕的所有不被优超的预分配方案之集，记为C(Γ)或C(v)。当用核心作为浓度贡献控制量分配方案时，任何污染源及其联盟都暂时找不到理由来反对。然而一个n人合作博奕的核心可能不存在，即核心可能是一个空集合。但是，由下面的强ε核心导出的最小核心总是存在的。强ε核心（参见文献[3]，[4]）：设ε是一个实数，n人合作博奕Γ≡(N,v)的强ε核心是Cε(Γ)={x∈X(Γ)|v(S)−∑∈Siix≤ε,S⊂N,S≠∅,N}。最小核心（参见文献[3]，[4]）：设Γ≡(N,v)是一个n人合作博奕，ε'是使得Cε(Γ)≠∅的最小ε，则称Cε'(Γ)是博奕Γ的最小核心，记为LC(Γ)或LC(v)。判定一个n人合作博奕的核心（Core）是否存在，或者当核心（Core）存在时如何求解，在n人合作博奕理论中，有下面的定理。命题3（核心的表示，参见文献[3]，[4]）．n人合作博奕Γ≡(N,v)的核心是满足下面条件的全部n维向量x所构成的集合：（a）)(SvxiSi≥∑∈，对所有的NS⊂；（b）)(NvxiNi=∑∈。由于核心C(Γ)是一个集合，且有上述表示方式，而条件（a）和（b）中的每一个