高中数学余弦定理教案精编范例汇集

高中数学余弦定理教案精编范例汇集教学是一项创造性劳动。写一份优秀的教案，是设计者的教育思想、智慧、动力、经验、个性和教学艺术性的综合体现。以下是网友带来的数学“前定理”教案和教学反思，希望对大家有所帮助！数学《余弦定理》教学反思一本节课是高中数学教材北师大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一课时内容，《课程标准》和教材把解三角形这部分内容安排在必修5，位置相对靠后，在此前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使得这部分知识的处理有了比较多的工具，某些内容处理的更加简洁。学数学的最终目的是应用数学，可是比较突出的是，学生应用数学的意识不强，创造能力弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的知识应用到实际问题中去，尽管对一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的思维方法了解不够，针对这些情况，教学中要重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际问题(如测量等)的重要定理，它将三角形的边角有机的结合起来，实现了边与角的互化，从而使三角和几何有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据。教科书直接从三角形三边的向量出发，将向量等式转化为数量关系，得到余弦定理，言简意赅，简洁明快，但给人感觉似乎跳跃较大，不够自然，因此在创设问题情境中加了一个铺垫，即让学生想用向量方法证明勾股定理，再由特殊到一般，将直角三角形推广为任意三角形，余弦定理水到渠成，并与勾股定理统一起来，这一尝试是想回答：一个结论源自何处，是怎样想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加减法运算，其实向量的加减法的三角法则和平行四四边形法则从形上揭示了三角形的边角关系，而正弦定理与余弦定理是从数量关系上揭示了三角形的边角关系，向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系，因此用向量方法证明正、余弦定理比较简洁，在证明余弦定理时，让学生自主探究，寻找新的证法，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会到向量证法的优美简洁，使知识交融、方法熟练、能力提升。数学教学的主要目标是激发学生的潜能，教会学生思考，让学生变得聪明，学会数学的发现问题，具有创新品质，具备数学文化素养是题中之义，想一想，成人工作以后，有多少人会再用到余弦定理，但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽。数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力，让学生想学数学这门课，同时指导学生掌握数学学习的一般方法，具备终身学习的基础。教师要不断提出好的数学问题，还要教会学生提出问题，培养学生发现问题的意识和方法，并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯，在本节课中，通过余弦定理的发现过程，培养学生观察、类比、发现、推理的能力，学生在教师引导下，自主思考、探究、小组合作相互交流启发、思维碰撞，寻找不同的证明方法，既培养了学生学习数学的兴趣，同时掌握了学习概念、定理的基本方法，增强了学生的问题意识。其次，掌握正确的学习方法，没有正确的学习方法，兴趣不可能持久，概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法，学习的过程就是知其然，知其所以然、举一反三的过程，学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的范例，引导学生发现余弦定理的来龙去脉，掌握余弦定理证明方法，理解余弦定理与其他知识的密切联系，应用余弦定理解决其他问题。在余弦定理教学中，寻求一题多解，探究证明余弦定理的多种方法，指导一题多变，改变余弦定理的形式，如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式，启发学生一题多想，引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系，与勾股定理的联系、与向量的联系、与三角知识的联系以及与其他知识方法的联系，通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式，夯实了数学基础，打通了知识联系，掌握了数学的基本方法，丰富了数学基本活动经验，激发了数学创造思维和潜能。教学中也会有很多遗憾，有许多的漏洞，在创设情境，引导学生发现推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想等方面有很多遗憾，比如：如何引入向量，解释的不够。最后，希望各位同仁批评指正。数学《余弦定理》教案二变式训练在△ABC中，求证：(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).证明：(1)根据正弦定理，可设asinA=bsinB=csinC=k，显然k≠0，所以左边=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右边.(2)根据余弦定理，得右边=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.知能训练1.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S=c2-(a-b)2，则tanC2等于()A.12B.14C.18D.12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin2A+C2-cos2B=72.(1)求角B的度数;(2)若b=3，a+c=3，且ac，求a、c的值.答案：1.B解析：由余弦定理及面积公式，得S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，∴1-cosCsinC=14.∴tanC2=1-cosCsinC=14.2.解：(1)由题意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.∵0(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，∴ac=2.①又∵a+c=3，②解①②联立的方程组，得a=2，c=1或a=1，c=2.∵ac，∴a=2，c=1.课堂小结教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题，特别是已知两边及其一边的对角时解的情况，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题.学到了具体问题具体分析的良好思维习惯.教师进一步点出，解三角形问题是确定线段的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角;解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件(元素)就够了.正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素;余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素.作业课本本节习题1—1B组6、7.补充作业1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，试判断△ABC的形状.2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A=60°，BC，b、c是方程x2-23x+m=0的两个实数根，△ABC的面积为32，求△ABC的三边长.解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.∴sinA?cosA=sinB?cosB，即sin2A=sin2B.∴A+B=90°或A=B，即△ABC为等腰三角形或直角三角形.2.由韦达定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，∴m=2.则原方程变为x2-23x+2=0，解得两根为x=3±1.又BC，∴bc.故b=3+1，c=3-1.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.∴所求三角形的三边长分别为a=6，b=3+1，c=3-1.设计感想本教案设计的思路是：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系.本教案的设计注重了一题多解的训练，如例4给出了两种解法，目的是让学生对换个角度看问题有所感悟，使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程，逐步培养出创新意识.换一个角度看问题，变通一下，也许会有意想不到的效果.备课资料一、正弦定理、余弦定理课外探究1.正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(这是角的关系)，∴ab=32(这是边的关系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且2b=a+c.求证：sinA+sinC=2sinB.证明：∵a+c=2b(这是边的关系)，①又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②c=bsinCsinB.③将②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.二、备用习题1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，则A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°3.△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是()A.等腰三角形但不是直角三角形B.直角三角形但不是等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.△ABC中，tanA?tanBA.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，则△ABC的面积是__________.6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：(1)sinBsinC;(2)sinB+sinC.7.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.(1)求sin2B+C2+cos2A的值;(2)若a=4，b+c=6，且b参考答案：1.A解析：∵a90°，因此无解.2.C解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.∴A=120°.3.D解析：由已知条件结合正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A=180°-2B，即A=B或A+B=90°.因此三角形为等腰三角形或直角三角形.4.B解析：由已知条件，得sinAcosA?sinBcosB0，cosCcosAcosB说明cosA，cosB，cosC中有且只有一