海伦公式证明（精编3篇）

海伦公式证明（精编3篇）【导读引言】网友为您整理收集的“海伦公式证明（精编3篇）”精编多篇优质文档，以供您学习参考，希望对您有所帮助，喜欢就下载吧！海伦公式原理简介1原理简介我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}当P＝1时，△2＝q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}因式分解得△^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]=1/16[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}.其中cba.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）代入解得s=8√3证明（3）在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、cO为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c)/2,则S△ABC=1/2aha=1/2ab×sinC=rp=2R^2sinAsinBsinC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的证明证一勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵由证一，x==－c=p－cy==－a=p－az==－b=p－b∴r3=∴r=∴S△ABC=r·p=故得证。二、海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴===解得：e=①f=②由于S四边形ABCD=S△EAB将①，②跟b=代入公式变形④，得到：∴S四边形ABCD=所以，海伦公式的推广得证。编辑本段例题：C语言版：如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC=x由海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2=27x4－12x2－16x＋27=0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0x=1或x3＋x2－11x－27=0当x=1时，AD=BC=1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS):dima,b,c,p,q,sa=inputbox(请输入三角形第一边的长度)b=inputbox(请输入三角形第二边的长度)c=inputbox(请输入三角形第三边的长度)a=1*ab=1*bc=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*qmsgbox(三角形面积为&s),,三角形面积在VC中实现#include#includemain()inta,b,c,s;printf(输入第一边\\\\n);scanf(%d,&a);printf(输入第二边\\\\n);scanf(%d,&b);printf(输入第三边\\\\n);scanf(%d,&c);s=(a+b+c)/2;printf(面积为:%f\\\\n,sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));C#版：usingSystem;using;using;namespaceCST09078claProgramstaticvoidMain(string[]args)doublea,b,c,p,s;(输入第一条边的长度：\\\\n);a=(());(输入第二条边的长度：\\\\n);b=(());(输入第三条边的长度：\\\\n);c=(());p=(a+b+c)/2;s=(p*(pb)*(p-c));(我算出来的面积是{0},s);();海伦公式与四边形面积公式2海伦公式与四边形面积公式2007年08月01日星期三00:43我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：证明：设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：联立两式解得：海伦公式3海伦公式与海伦在他的著作Metrica(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]cosC=(a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2]^2}当P=1时，△2=q,△=√1