参数激励粘弹性传动带的分岔和混沌特性

第27卷第1期Vol.27No.1工程力学2010年1月Jan.2010ENGINEERINGMECHANICS58———————————————收稿时间：2007-12-13；修改日期：2009-11-18基金项目：国家自然科学基金项目(10372008)；北京市自然科学基金项目(3032006)作者简介：*刘彦琦(1974―)，女，内蒙人，博士，从事非线性振动与控制研究(E-mail:[e-mail])；张伟(1960―)，男，北京人，教授，博士，博导，从事非线性动力学研究([e-mail]).文章编号：1000-4750(2010)01-0058-05参数激励粘弹性传动带的分岔和混沌特性*刘彦琦1，张伟2(1.清华大学精密仪器与机械学系，北京100084；2.北京工业大学机电学院，北京100124)摘要：该文分析了参数激励粘弹性传动带的分岔和混沌特性。基于几何非线性，根据哈密顿原理建立轴向运动粘弹性传动带的横向振动微分方程，利用Galerkin方法分离时间和空间变量，再应用Runge-Kutta法进行非线性振动特性分析。数值结果表明：粘弹性传动带系统存在分岔和混沌现象，并且系统的动力学响应随着参数的变化而变化。关键词：粘弹性；传动带；非线性；分岔；混沌中图分类号：TH113.1文献标识码：ABIFURCATIONANDCHAOSOFAPARAMETRICALLYEXCITEDVISCOELASTICMOVINGBELT*LIUYan-qi1,ZHANGWei2(1.DepartmentofPrecisionInstrumentsandMechanology,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.CollegeofMechanicalEngineering,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124,China)Abstract:Inthispaper,bifurcationandchaosofaparametricallyexcitedviscoelasticmovingbeltwereinvestigated.Basedongeometrynonlinearity,thenonlineargoverningequationsofmotionfortheviscoelasticmovingbeltwerederivedbyHamiltonianprinciples.Then,theGalerkinmethodwasusedtodiscretizethegoverningequations.Finally,theRunge-Kuttawasemployedtoanalyzethenonlineardynamicalbehaviorsofthebelt.Thenumericalresultsindicatethatbifurcationandchaosoccurinthetransversenonlinearoscillationsoftheparametricallyexcitedviscoelasticmovingbelt.Inaddition,thedynamicresponseofbeltvarieswiththeparameters.Keywords:viscoelastic;belt;nonlinear;bifurcation;chaos动力传动带是一种常见的工程元件，在机械、航空、航天、建筑等许多领域得到广泛应用。尽管传动带系统有许多优点(结构简单、传动方便、易调节更换等)，但其在高速运转时，将会产生很大的横向振动，这对其应用非常不利。另外，随着工程应用精度要求的提高，线性振动理论分析已经很难满足要求。从而，有必要探讨轴向运动传动带的非线性动力学特性。由于粘弹性传动带的弯曲刚度较小，通常忽略其弯曲刚度简化为轴向运动弦线模型进行研究。运动弦线的动力学问题已有大量研究。Chen[1]对运动弦线的动力学研究做了详细的综述。Zhang等[2]分析了粘弹性传动带系统1∶3内共振时的周期和混沌运动。Chen等[3]研究了粘弹性轴向移动弦线的混沌动力学特性。Zhang等[4]分析了粘弹性传动带系统的多自由度非线性动力学特性。Wu等[5]给出了加速运动弦线的稳态响应和稳定性。Fung[6]研究了粘弹性弦线的瞬态振幅响应。对运动弦线面内动力学问题的研究较多，但对于其非平面动力学的研究则较少。Huang等[7]研究了轴向运动弹性弦线三维非线性振动由于轴向张工程力学59力周期涨落导致参数振动的稳定性，并得到共振时的不稳定条件。对于粘弹性传动带的非平面振动，Liu等[8]分析了其1∶1内共振和主参数共振时的周期和混沌运动特性。Ha等[9]通过分岔图和Poincare截面分析了粘弹性弦线三维振动的动力学响应。本文研究了参数激励作用下粘弹性传动带的分岔和混沌特性。应用Galerkin法对振动微分方程进行解耦，再通过数值方法分析系统的非线性动力学特性。1动力学方程粘弹性传动带的弯曲刚度较小，故可忽略其弯曲刚度模型化为轴向运动弦线模型，具体模型如图1所示。图1传动带系统的动力学模型Fig.1Themodelofaviscoelasticmovingbelt在分析过程中，采用固定的直角坐标系oxyz描述。其中，uvw、、分别为带上任意一点在x方向、y方向、z方向的位移，两简支端之间的距离为L，c为传动带的轴向运动速度，P为带的张力，考虑稳态张力有一个周期扰动的情况，即0PP=+1cosPtΩ。由于轴向运动传动带的横向振动占优，并考虑其大变形，故其应变可表达为：22,,1()2xxvwε=+(1)式中：下角标“,”表示对变量的偏导数。Kelvin微分型本构关系在粘弹性理论中广泛应用。该模型是由一个线性弹簧和一个线性阻尼器并联而成的，其应力-应变关系的数学表述直接与力学模型相联系，在求解某些问题时比较方便。该本构模型的数学描述如下：evEtεσεησσ∂=+=+∂(2)式中：E是传动带的刚度常数；η是动态粘性阻尼系数。利用Hamilton原理建立系统的动力学方程，其具体表达式如下：21()d0ttTUWtδδδ−+=∫(3)这里，Tδ表示动能的变分，Uδ表示弹性应变能和弹性势能的变分，而Wδ表示外力和粘性阻尼力做的虚功。粘弹性传动带的动能：{22,,,,0[(1)]()+2LtxtxATucuvcvρ=++++∫}2,,()dtxwcwx+(4)粘弹性传动带的变形能：200111dd=d222LLeeVUVAxAExσεσεε==∫∫∫，dAAA=∫(5)张力和粘性阻尼力做的功：00dd=LLvWPxAxδδεσδε=−−∫∫00ddLLPxAxtεδεηδε∂−−∂∫∫(6)将式(4)、式(5)和式(6)代入式(3)，应用分部积分得到粘弹性传动带非平面横向振动微分方程如下：2222222vvvAcctxtxρ⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠22+vvvpAcxxtxσ∂∂∂∂⎛⎞−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠，0xL(7a)2222222ρ⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠22+σ∂∂∂∂⎛⎞−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠，0xL(7b)其中：ρ为带的密度；A为带的横截面；c为外阻尼系数。将式(1)和式(2)代入式(7)得：22,,,,,32()2tttxxxxxxvcvcvEvvρρρ++=+2,,,,,,,,1+()22xxxxxxxxxxxtEwwvEwvvvvη++2,,,,,,,,()+xxxtxxxxtxxxtxvvvηηη++01,,,,,cosxxtxxxxtPPtwwvvcvAΩη++−(8a)22,,,,32()2tttxxxxxxwcwcwEwwρρρ++=+2,,,,,,,,1()22xxxxxxxxxxxtEvvwEvη+++yxPPuLzwvcP60工程力学2,,,,,,,,()xxxtxxxxtxxxtxηηη+++01,,,,,cosxxtxxxxtPPtvvwwcwAΩη++−。(8b)上述粘弹性传动带的非线性振动微分方程包括弹性项、粘性项、参数激励项和外阻尼项，并且面内横向振动方程与面外横向振动方程是相互耦合的。2系统Galerkin离散为了研究传动带的分岔和混沌动力学特性，首先采用Galerkin方法将振动微分方程的时间和空间坐标解耦，得到一般的常微分方程来分析，由微分方程理论，传动带非平面非线性振动方程式(8a)和式(8b)的解(,)vxt和(,)wxt可以写成关于时间函数()ft，时间函数()gt和空间函数()xϕ(形函数)的乘积的线性组合的形式[10]，即：(,)()()2sinπ()xvtxxftftLϕ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠(9a)(,)()()2sinπ()xwtxxgtgtLϕ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠(9b)经Galerkin离散，得常微分方程组如下：22201cos()PPfcftflAlAΩρρ⎛⎞ππ⎛⎞⎛⎞−−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠42231228fEfEgffggcflηηρρπ⎛⎞⎡⎤+++−⎜⎟⎣⎦⎝⎠(10a)22201cos()nPPgcgtglAlAΩρρ⎛⎞ππ⎛⎞⎛⎞−−=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠42231228gEfEgffggcglηηρρπ⎛⎞⎡⎤+++−⎜⎟⎣⎦⎝⎠(10b)为便于研究，引入如下坐标变换：1fx=,2fx=,3gx=,4gx=(11)将变换式(11)代入式(10)得一阶常微分方程组如下：12xx=(12a)22201211ππcos()PPxcxtxlAlAΩρρ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠42221131π3[]8cxExxxlρρ⎛⎞−+−⎜⎟⎝⎠411234π3[]4xxxxxlηρ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠(12b)34xx=(12c)22201433ππcos()PPxcxtxlAlAΩρρ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠44224313133[]84cxExxxllππρρρ⎛⎞⎛⎞−+−⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠31234[]xxxxxη+(12d)式(12)是对粘弹性传动带系统进行数值分析的基础。3数值模拟基于常微分方程组式(12)，利用四阶Runge-Kutta法对粘弹性传动带系统进行数值分析。系统参数和初值分别为：1.2mL=,0100N/mP=，1P=35N/m，20m/sc=，3900kg/mρ=，4A=×4210m−，20.06Ns/mc=⋅，821.510N/mE=×，Ω=114s−，523.010Ns/mη=×⋅，100.05x=，200.1x=，300.01x=，400.16x=。保持系统的其它参数和初值不变，只改变稳态张力P0，得系统的分岔图，如图2所示。面内横向振动面外横向振动图2稳态张力的分岔图Fig.2Bifurcationdiagramofthesteadytension稳态张力P0/(N/m)无量纲x1稳态张力P0/(N/m)无量纲x3工程力学61当080N/m140N/mP时，稳态张力对粘弹性传动带系统的动力学响应呈现出一定的规律：周期运动→倍周期运动→概周期运动→混沌运动→概周期运动→混沌运动。稳态张力在区间080N/m100N/mP内时，系统的动力学响应为周期运动；稳态张力大约在区间0100N/mP113N/m内时，系统发生混沌运动；稳态张力在区间0113N/m128N/mP内时，系统的动力学响应为周期运动；稳态张力大约在区间0128N/mP140N/m内时，系统再次进入混沌运动状态。图3表明扰动张力对粘弹性传动带系统动力学的响应；当130N/m70N/mP时，随着扰动张力的增大粘弹性传动带系统响应的变化规律为：周期运动→混沌运动→周期运动→混沌运动。扰动张力在区间130N/m34N/mP内时，系统发生周期运动；扰动张力大约在区间134