证明矩阵可逆（通用4篇）

证明矩阵可逆（通用4篇）【导读引言】网友为您整理收集的“证明矩阵可逆（通用4篇）”精编多篇优质文档，以供您学习参考，希望对您有所帮助，喜欢就下载吧！3矩阵的证明【第一篇】矩阵的证明常见的有矩阵秩的证明，向量组的线性相关性证明等，这些大部分都可以利用矩阵式来解决。掌握好关键的几点。第一：矩阵式的表示第二：矩阵秩和相关性的关系（秩小于向量的个数，线性相关，秩等于向量的个数，线性无关）第三：掌握秩的有关结论，主要有八个结论，用得比较多的有7.电机的可逆原理【第二篇】直流电机定义输出或输入为直流电能的旋转电机，称为直流电机，它是能实现直流电能和机械能互相转换的电机。当它作电动机运行时是直流电动机，将电能转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转换为电能。直流电机的结构由直流电动机和发电机工作原理示意图可以看到，直流电机的结构应由定子和转子两大部分组成。直流电机运行时静止不动的部分称为定子，定子的主要作用是产生磁场，由机座、主磁极、换向极、端盖、轴承和电刷装置等组成。运行时转动的部分称为转子，其主要作用是产生电磁转矩和感应电动势，是直流电机进行能量转换的枢纽，所以通常又称为电枢，由转轴、电枢铁心、电枢绕组、换向器和风扇等组成。直流电机的可逆运行原理一台直流电机原则上既可以作为电动机运行,也可以作为发电机运行,这种原理在电机理论中称为可逆原理。当原动机驱动电枢绕组在主磁极N、S之间旋转时，电枢绕组上感生出电动势，经电刷、换向器装置整流为直流后，引向外部负载（或电网），对外供电，此时电机作直流发电机运行。如用外部直流电源，经电刷换向器装置将直流电流引向电枢绕组，则此电流与主磁极产生的磁场互相作用，产生转矩，驱动转子与连接于其上的机械负载工作，此时电机作直流电动机运行。可逆矩阵及其简单应用【第三篇】石家庄学院毕业设计（论文）它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。关键词矩阵可逆矩阵通信AbstractInthediscuionoflinearequations,wecanseethatsome可逆矩阵及其简单应用importantpropertiesofthelinearequationsarereflectedinitscoefficientmatrixandaugmentedmatrixofnature,what`smore,theproceofthesolutionperformanceoftheproceoftransformationofthesematrixmultiplicationastheinverseofthematrixisanimportantmatrixoperations,andplaysanimportantroleinsolvingtheringthemethodofInvertiblematrixoftencanplayamultipliereffectinsolvingpracticalfollowingarethesystemsummaryofthecommonlyusedreversiblemethodfortheevaluationofInvertiblematrix,andfurtherdescripitionsofseveralcommonapplicationinthefieldofmathematicsandsimplecommunications.KeyWordsMatrixInvertiblematrixCommunications石家庄学院毕业设计（论文）目录前言...................................................................5一、可逆矩阵...........................................................5二、可逆矩阵的性质及求法...............................................5（一）性质..............................................................5（二）逆矩阵求法.........................................................6三、可逆矩阵的简单应用.................................................10（一）可逆矩阵在数学方面的应用............................................10（二）可逆矩阵在通信方面的应用.........................................11（1）加密保密通信模型.......................................................12（2）可逆矩阵的应用........................................................12（3）加密密钥的生成........................................................13（4）解密密钥的生成........................................................14（5）明文矩阵的选择........................................................14（6）加密矩阵的选择........................................................14（7）算法优化............................................................14结论...................................................................15参考文献...............................................................15致谢16可逆矩阵及其简单应用前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。可逆矩阵是矩阵知识的一个基础支流，借助自身优秀的性质特点，为更高层的矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容。一，可逆矩阵定义：在线性代数中，给定一个n阶方阵，其中阵，记作。，若存在一n阶方阵，使得是的逆矩为n阶单位矩阵，则称是可逆的，且若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵。二、可逆矩阵的性质及求法（一）性质（１）如果A可逆，则A也可逆，且．由可逆的定义，显然有A与A是互逆的．（２）如果、B是两个同阶可逆矩阵，则(AB)也可逆，且．这是因为E所以1．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A的转置矩阵A也是可逆矩阵，且(A)这是因为．石家庄学院毕业设计（论文）所以．（４）如果A是可逆矩阵，则有A这是因为AA所以．，两边取行列式有，．A（二）逆矩阵求法方法一伴随矩阵法定义1设A=aij是n级方阵，用Aij，表示A的(ij)元的代数余子式(i=l，2，⋯，n)，矩阵称为A的伴随矩阵，记作若，并且当A可逆时有这种方法在理论上很有用,在实际计算中常用于2级或3级矩阵。例：用伴随矩阵法求A解：：因为，所以A可逆，而4634-3,A23=2,A31=1,A32=43634A33=-方法二二阶矩阵的公式求逆法设其中ad-，即，可逆矩阵及其简单应用则这个公式的推导思想是从这个重要结论出发，构造一个矩阵B，去左乘A使其等于单位矩阵I，即若AB=I，那么A=B。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。我们称为二阶矩阵的公式求逆法。方法三初等变换法这是一种最常用的一种方法,为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理：引理l可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说,可逆矩阵可以经过一系列初等变初等航变换，同理有换化成单位矩阵。即初等列变换例：用初等变换法求A所以方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若n级矩阵A可逆,则，于是A的第j列是线性方程组的的解，j=1,2，⋯，n因此我们可以去解线性方程组，其中然后把所得的解的公共式石家庄学院毕业设计（论文）中分别用l，O，⋯，O；0，l，⋯，O；⋯；0，⋯，O，l代替，便可求得A的第l,2,⋯,n列。这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时,即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大,如果把该矩阵分块,再对分块矩阵求逆矩阵，则可减少计算量。用分块求逆法解题的具体步骤为：(1)根据所给矩阵A的特点分块为常用的分块求逆公式有：设A，B，A1，A2，⋯，As均可逆，则选择适当的分块求逆公式例：设四阶方阵解：设试求是分块矩阵，易则可逆矩阵及其简单应用得，故方法六利用哈密尔顿～凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿一凯莱定理：设A是数域P上一个级矩阵，是A的特征多项式，则设其中当A可逆时，，即由可得例设试用哈密尔顿一凯莱定理求解：方法七利用最小多项式求逆矩阵定义：以n阶矩阵A为根的多项式中,其中次数最低的首项为l的以A为根的多项式，称为A的最小多项式。石家庄学院毕业设计（论文）引理2设是矩阵A的最小多项式，那么f为根的充分必要条件是整除以A由上述引理和定义及哈密尔顿一凯莱定理知：非退化矩阵A的最小多项式的常数项非零,即设A的最小多项式为则有常数项又由于，则得，故下面举例说明此法的应用,但此法并不常用。例,求的逆矩阵。解：因为A的特征多项式为，所以A的最小多项式为的因式，显然A—E≠0，而，因2此A的最小多项式为，即，所2323以由得三、可逆矩阵的简单应用（一）可逆矩阵在数学方面的应用逆矩阵在对角化中的应用定理n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A由n个线性无关1的特征向量,且当A相似于对角矩阵时的主对角线元素就是A的全部特征值.可逆矩阵及其简单应用推论1方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是单特征值）,则A必相似于对角矩阵.2求n阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤.第一步：计算特征多项式第二步：求出特征方程的全部根（重根按重数计算）,则就是A的全部特征值.如果为特征方程的单根,则称为A的单特征根;如果为特征方程的k重根,则称为A的k重特征值,并称k为的重数.第三步：对A的相异特征值中的每个特征值求出齐次线性方程的一个基础解系则就是对应于特征值的特征空间的一个基,而A的属于的全部特征向量为ki（其中为不全为0的任意常数）3如果n阶方阵A相似于对角矩阵,则A的相似对角化的一般步骤如下:第一步：求出A的全部特征值第二步：对A的相异特征值中的每个特征值求出齐次线性方程组的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有n个,它们就是A的n个线性无关的特征向量第三步：令矩阵则有其中是属于特征值的特征向量注意P的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致（二）可逆矩阵在通信方面的应用保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题．无数的科技工作者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型．其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的石家庄学院毕业设计（论文）一种．（1）加密保密通