离散数学形成性考核作业（三）

1离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。一、单项选择题1．设图G的邻接矩阵为0101010010000011100000100则G的边数为()．A．5B．6C．3D．4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：定义3.3.1设G=V，E是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素jivvvvajijiij不相邻或与相邻与01而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有82=4条边。2．设图G＝V,E，则下列结论成立的是()．A．deg(V)=2EB．deg(V)=EC．EvVv2)deg(D．EvVv)deg(正确答案：C2该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理3.1.1设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则VvEv||2)deg(3．图G如右图所示，以下说法正确的是()．A．{(a,d)}是割边B．{(a,d)}是边割集C．{(d,e)}是边割集D．{(a,d),(a,c)}是边割集正确答案：C上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：定义3.2.9设无向图G=V,E为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）如果答案A正确，即删除边(a,d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2正确答案：A该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立．v-e+r=25．无向图G存在欧拉通路，当且仅当()．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点正确答案：D上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；……定理4.1.1无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个cabedf3或2个奇数度数的结点．推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．所以，正确答案应该是D．6．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的一棵生成树．A．1mnB．mnC．1mnD．1nm正确答案：A上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了．大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代入公式e=v-1中的v，可以知道答案A是正确。定理5.1.1给定图T，则以下关于图T为树的定义等价．（1）无回路的连通图．（2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v是顶点数．（3）连通且e=v-1．（4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路．（5）连通，但删去任一边后图便不连通．（v≥2）（6）每一对顶点之间有且仅有一条路．（v≥2）定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的．最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1．二、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．应该填写：15主要检查大家对握手定理掌握的情况。定理3.1.1（握手定理）设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则VvEv||2)deg(因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即Vvv3044332211)deg(，所以边数有152/30E。问：若无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，那么T的树叶数为多少？2．设给定图G(如右图所示)，则图G的点割集是．应该填写：{f}，{c，e}上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解不正确。cabedf4定义3.2.7设无向图G=V,E为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．上学期许多同学填写的{f，c}，主要是没有完全理解定义3.2.7，因为{f}是{f，c}的真子集，而删除{f}后，图是不连通的。3．设无向图G＝V,E是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有V1．应该填写：W(G-V1)因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．而由定理4.2.1若图G=V,E中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)|S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数．因此应该填写：W(G-V1)．4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度．应该填写：等于出度如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度．大家一定能填写出正确答案的。5．设完全图Kn有n个结点(n2)，m条边，当时，Kn中存在欧拉回路．应该填写：n为奇数上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。定义3.1.6简单图G=V，E中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为Kn．由定义可知，完全图Kn中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数。由定理4.1.1的推论可知，应该填写：n为奇数。6．给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素，则该序列集合构成前缀码．应该填写：1因为在二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码．填写该题答案时大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。问：若把序列集合中的1换成0，应该去掉哪个元素？三、判断说明题1．给定两个图G1，G2（如下图所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由．5（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．分析：先复习欧拉图的判别定理和汉密尔顿图的定义：定理4.1.1的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．定义4.2.1：若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．解：（1）图G1是欧拉图．因为图G1中每个结点的度数都是偶数．图G2是汉密尔顿图．因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）：a(a,b)b(b,e)e(e,f)f(f,g)g(g,d)d(d,c)c(c,a)a问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：v1(v1,v2)v2(v2,v3)v3(v3,v4)v4(v4,v5)v5(v5,v2)v2(v2,v6)v6(v6,v4)v4(v4,v1)v1（上学期的学生在书写欧拉回路时不规范，大家要按照正确的方法写法。）2．判别图G(如右图所示)是不是平面图，并说明理由．分析：平面图的定义是定义4.3.1设G=V，E是一个无向图，如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则称G是一个平面图（也称可平面图）．显然平面图的边与边只在结点处相交．解：图G是平面图．因为只要把结点v2与v6的连线(v2,v6)拽到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线(v3,v6)拽到结点v4,v5的外面，就得到一个平面图．注意：定理4.3.3设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．会用于判断不是平面图。四、计算题v1v2v3v4v5v6v5v1v2v4v6v3v5v1v2v4v6v361．设图GV，E，其中Va1,a2,a3,a4,a5,Ea1,a2，a2,a4，a3,a1，a4,a5，a5,a2（1）试给出G的图形表示；（2）求G的邻接矩阵；（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？解：（1）图G是有向图：（2）邻接矩阵如下：,0001010000000010100000010)(DA（3）图G是单侧连通图，也是弱连通图．关于强连通图、单侧连通图还是弱连通图的判断，希望大家掌握图论综合作业单项选择题中的第4题。2．图G=V,E，其中V={a,b,c,d,e,f}，E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f)}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：（1）因为V={a,b,c,d,e,f}E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e),(d,f),(e,f)}，权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8所以，G的图形如右图所示：（2）分析：定义3.3.1设G=V，E是一个简单图，其中V={v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵．其中.01jivvvvajijiij不相邻或与相邻与邻接矩阵：011000101111110010010001011001010110（3）用避圈法：第1步：选(a,e)和(c,e)边；第2步：选(b,d)边；（为什么不选(a,c)？）第3步：选(d,f)边；a1a2a3a4a5cabedf152261938cabedf1522619387第4步：选(a,b)边．这样，得到了最小的生成树，如右图中粗线所示．最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12．上学期作业中的最小的生成树求的不对，主要是没有把握“取权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，常常是只注意取权数最小的边了，而忽略“不构成圈”的要求。问：如果结点集是V={a,b,c,d,e}，边集E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(d,e)}，对应边的权值依次为5，2，1，2