人教数学(A版)培训手册之五必修1总体介绍

人教数学（A版）培训手册之五──必修1总体介绍钱珮玲王嵘章建跃本教科书根据教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》编写，为高中数学课程5个必修模块中的第一个，是整个高中数学的基础。一、主要内容与结构框架本书的主要内容是集合与函数。集合语言是学习、掌握和使用数学语言的基础；函数的思想方法和应用贯穿了整个高中课程。因此，它们是学习高中后继内容的基础。全书分为三章，共36课时。具体内容是：第1章集合与函数概念（13课时）；第2章基本初等函数（Ⅰ）（14课时）；第3章函数的应用（9课时）。第1章中，教科书先从学生熟悉的集合出发引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法、描述法及Veen图；然后结合具体实例，运用类比的方法介绍了集合间的关系和运算。采用“类比”方法的目的在于体现知识之间的联系，加强学习方法的引导，使学生逐步熟悉高中数学学习的特点，培养良好的数学思考习惯。在学习集合语言的基础上，教科书利用三个实例（涉及解析式、图形和表格），在问题的引导下归纳出用集合与对应语言给出的函数定义，并且从函数的三要素、符号、表示法三个角度对函数概念作深入考察，最后将函数推广到映射。在介绍函数基本性质时，教科书充分使用了数形结合的方法，从观察具体函数图象特征入手，结合相应的数值表，并提出相应的问题，引导学生从日常描述性语言逐步转化到用数学符号语言形式化地定义函数的性质。第2章的重点是理解指数函数和对数函数的概念及其性质，并认识到它们是重要的函数模型。教科书以我国GDP增长和碳-14衰减作为本章开篇问题，既说明了扩张指数范围的必要性，又体现了指数函数的实际背景。在问题情境中，教科书对指数函数概念的建立、图象的绘制、基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍。同指数函数的研究过程一样，教科书介绍了对数函数的概念、性质和初步应用。通过这两个研究过程，可使学生较完整地学习建立和研究一个具体函数的过程及其研究方法。最后，教科书结合具体问题简介了五种特殊的幂函数及其图象和简单性质。第3章以建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题为主线。方程的根与函数零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下进行的．其中，用函数的观点解决问题，数学建模思想是本章渗透的主要数学思想；二分法是本章介绍的主要数学方法；分析问题解决问题的初步应用能力，是通过以函数模型为工具解决具体问题来实现的。二、编写中考虑的问题集合与函数是高中数学课程中的传统内容，与以往相比，《普通高中数学课程标准（实验）》关于这部分内容的要求，在理念和处理方式上都发生了较大的变化。关注变化，继承创新是本书在编写过程中着力研究的方面。在对一系列具体问题分析研究的基础上，例如，如何帮助学生更好地认识和理解函数概念、了解函数与其他内容的联系、丰富教和学的方式等等，本书在体系编排、素材选择、内容呈现等方面作了新的尝试和努力。主要体现在以下几个方面：1．强调背景和应用，展现过程和联系本书学习的数学知识都是基础知识，它们不仅具有现实或数学上的丰富背景，而且有着广泛的应用。例如，函数本身就是刻画现实世界中变化规律的模型，它拥有丰富的现实背景，同时又和方程、数列、不等式等内容有着密切的联系。因此，教科书在内容的选择和呈现上，强调突出背景和应用，充分展现知识发生发展的过程，体现知识间的联系，以使学生深刻理解数学知识，加强应用意识。全书不仅选取了丰富的背景实例和应用实例，如引入函数概念时的运动变化、臭氧空洞问题，函数表示法中的公共汽车票价问题，对数函数中的地震震级问题等，而且专门将函数的应用设为一章，其中的二分法既体现了函数与方程的联系，又体现了函数思想的应用。在这些问题情境中，教科书力求提出具有启发性、挑战性的问题，引导学生经历知识发生发展的过程。如在比较函数增长差异时，首先通过选择投资方案和奖励方案两个问题，让学生对不同类函数增长的差异建立感性认识，继而在问题的提示下探究了具体函数y=2x,y=x2,y=log2x的增长差异，最后上升到比较一般的指数函数、对数函数和幂函数的增长差异，这充分体现了获得数学结论的从特殊到一般、从具体到抽象的过程。2．渗透数学思想方法，关注数学文化加强“思想性”是本套教科书努力追求的目标之一。本书中主要蕴含了数形结合、用函数观点研究问题、数学建模的思想方法。数形结合的思想方法贯穿了本书的始末，如利用Veen图表示集合的关系和运算；根据实际问题的数据画图、建立拟和函数的解析式、估计事物发展趋势等等。用函数观点研究问题、数学建模的思想方法主要反映在第3章用二分法求方程近似解，建立实际问题的函数模型的过程中。数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。本书对数学文化也给予了很大关注，不仅利用拓展性栏目介绍史料“函数概念的发展历程”“对数的发明”等，而且还结合教学内容不失时机地介绍马尔萨斯人口模型和牛顿冷却模型，将数学成果的介绍与学生的学习、实践融为一体。希望学生通过本书的学习不仅在数学知识和数学能力方面得到提高，而且能逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。3．提供自主探索空间，促使学生主动学习丰富学习方式、改进学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。为此，本书特别注意为学生自主探索留下了充分的空间。采取的主要方法有：（1）设置具有启发性和挑战性的问题，引发学生的思考和探究。书中像“你能用同样的方法，讨论一下函数y=ax(0a1)，y=xn(n0)，y=logax(0a1)在区间（0，+）上的衰减情况吗？”的问题比比皆是。（2）在适当的时候提出学习要求或预留空白，为学生提供动手实践的机会。例如，教科书利用旁白提示等方式，经常向学生提出类似于“是否可以设计一个表格，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价？”的问题，以引导学生进行实际操作。（3）通过拓展性栏目，引导学生根据自己的兴趣，查阅更多的资料，经过阅读自学、独立思考、讨论交流获取更多的知识。例如阅读与思考“互为反函数的两个函数图象间的关系”。三、使用本书的两个教学建议1．把握好内容和要求的变化虽然本模块的内容是高中数学课程中的传统内容，老师们都比较熟悉，但与以往教科书比较，本书在内容安排、学习要求和概念处理方式上，都有很多变化，教学时应特别注意把握这些变化，理解教科书的编写意图，在对学生的学习要求上把握好分寸。（1）把集合知识作为一种语言来学习，特别关注用集合语言表示数学对象及其关系，不必在集合的运算、用集合知识解决复杂问题上做文章，避免在细枝末节的问题上（如空集与0、{0}等的区别）过分纠缠。掌握一种语言的最好方法是经常使用它，因此在教学中，教师应当充分利用教科书提供的素材，也可以自己开发一些情境，引导学生用集合语言进行表达和交流，在使用过程中熟悉自然语言、集合语言和图形语言等各自的特点，逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。（2）与以往教科书比较，函数概念的处理方式从“先讲映射后讲函数”转变为“先讲函数后讲映射”。这样做的目的是使学生在一个丰富的具体背景上理解抽象的函数概念。函数概念的建立历来是学生学习的难点，从映射到函数（从抽象到抽象）这样的内容编排方式不能不说是引起困难的主要原因之一。所以，从丰富的背景实例出发，引导学生经历函数概念的概括过程，使学生看到函数概念就能在头脑中浮现出一批函数实例，可以极大地促进学生对函数本质的理解。如果有了对函数本质的理解和把握，那么少做推广就可以得到映射的概念，这实际上也为映射概念的理解建立了坚实基础。在教学中，教师应注意多为学生提供理解函数概念的机会，例如，提供丰富的背景素材，从具体实例的分析上升到抽象概念的理解；多为学生提供从具体问题中抽象出函数模型的机会，学习基本初等函数时，以具体函数为依托，螺旋上升地理解函数本质等。至于映射，只要让学生了解一些基本概念就可以，不做过多要求。教科书对反函数概念作了淡化处理，只以具体的对数函数与相应的指数函数为例进行了解释和直观说明，不讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。教学时不要对反函数概念进行拓展。特别值得注意的是，在过去的教学中，教师对函数的定义域、值域问题关注过多，从某种程度上冲淡了对函数概念本质的理解，这是需要纠正的。在定义域、值域问题上，教科书只对最基本的函数提出要求，教学中也不要做拓展。应当把主要精力放在使学生理解函数的基本概念和函数思想上，以使学生有更多的时间考虑如何建立函数模型以反映实际问题中变量之间的依赖关系。（3）把握好二分法的教学要求。引入二分法的目的不仅是让学生掌握一种求方程近似解的方法，更重要的是丰富函数应用的背景，使学生在认识函数与方程的联系的过程中，加深对函数概念的理解，学会用函数观点看待和解决问题。二分法的思想（迭代、逼近等）非常重要，而且二分法中的算法思想非常明确，教学中应当引导学生通过具体操作领会这些思想，学会用二分法求方程近似解的基本步骤。2．恰当使用信息技术信息技术是一种有效的认知工具，能为学生进行自主探究提供强有力的平台。本书在很多内容上都可以使用信息技术辅助教学，例如，在函数性质、二分法、函数应用等知识的学习中利用信息技术作图、运算、动态演示等，使学生将更多的精力用于理解函数及二分法的基本思想上；研究指数函数、对数函数的性质时，利用信息技术演示图象的动态变化过程，在变化中寻求“不变性”，以利于学生发现性质；等等。因此，在有条件的情况下，应尽可能地创设使用信息技术的情境，利用信息技术的优势改进学生的学习方式，提高对数学学习的兴趣，加强对数学知识的理解。为了帮助教师使用信息技术，我们专门在“人教网”上提供了高中数学课程标准实验教科书的“信息技术支持系统”，网址是：新课标教材·高中·数学。考虑到我国不同地区经济的差异较大，我们在教科书的正文中没有详尽地介绍信息技术的使用，而是在某些地方用“旁注”给出提示，或通过拓展性栏目“信息技术使用”介绍用信息技术学习某些内容的方法。在教学中，教师可以结合课堂教学介绍相关的信息技术使用方法，也可以让学生在课外学习。