2021北京清华附中初二上期中数学试卷答案试题解析

1/192021北京清华附中初二（上）期中数学一、选择题（每题3分，共24分）1．现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列字是轴对称图形的是（）A．诚B．信C．友D．善2．已知一个正方形㐻边长为a+1，则该正方形的面积为（）A．a2+2a+1B．a2﹣2a+1C．a2+1D．2a+13．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．10B．15C．17D．194．下列各式运算结果为a9的是（）A．a6+a3B．a3•a3C．（a3）3D．a18÷a25．如图△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+17．如图，网格中的每个小正方形边长均为，△ABC的顶点均落在格点上，若点A的坐标为（﹣2，﹣1）．则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）2/198．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥DC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△POC是等边三角形；④AB＝OA+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题（每题3分，共24分）9．若（2x﹣1）0＝1，则x≠．10．若点A（m，n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是．11．若（x+m）（x﹣2）的乘积中不含x的一次项，则m＝．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，则CE的长为．13．若关于x代数式x2+4mx+4是完全平方式，则常数m＝．14．已知a2﹣2a＝5，则代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD＝5，AD＝3，P是直线MN上的任意点，则PA+PC的最小值是．16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是.（用含a，b的代数式表示）3/19三、解答题（共52分）17．计算：（1）2x3y•（﹣3xy2）（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）18．因式分解：（1）2a3+6ab（2）5x2﹣5y2（3）﹣3x2+6xy﹣3y219．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．20．运用所学乘法公式等进行简便运算：（1）（﹣0.125）11×811（2）9.92（3）21．已知，求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．22．如图，在2×2的正方形格纸中，△ABC是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与△ABC成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示）．4/1923．如图，△ABC是等边三角形，D点是AC上一点，BD＝2CD，DE⊥AB于点E，CE交AD于点P．求∠APE的度数．24．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庆先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：；（2）解决问题：如果a+b＝10，ab＝12，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．25．我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”：若实数a与b的平方差等于0，则若实数对（a，b）在平画直角坐标系中对应的点为“十字点”．（1）若P（a，b）为“双曲点“，则a，b应满足的等量关系为；（2）在点A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“双曲点”的有；（3）若点B（9，k）是“双曲点”，求k的值；（4）若点A（x，y）为“十字点“，点B（x+5y，5y﹣x）足“双曲点”，求x，y的值．26．如图，点C是线段AB上一点，△ACF与△BCE都是等边三角形，连接AE，BF．（1）求证：AE＝BF；5/19（2）若点M，N分别是的中点AE，BF，连接CM，MN，NC．①依题意补全图形；②判断△CMN的形状，并证明你的结论．四、附加题：（共20分，每题4分）27．已知a＝817，b＝279，c＝913，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a28．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝．29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为．30．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，⋯在射线ON⊥，点B1，B2，B3，⋯在射线OM上，ΔA1B1A2，ΔA2B2A3，ΔA3B3A4，⋯均为等边三角形，若OA1＝a，则ΔA2B2A3，的边长为，ΔAnBnAn+1的边长为．31．如图，在等边△ABC中，点D是边BC上一点，∠BAD＝a（0′＜a＜30°），连接AD．作点C关于直线AD的对称点为E°连接EB并延长交直线AD于点F．（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；（2）直接写出线段AF，BF，EF之间的等量关系．6/192021北京清华附中初二（上）期中数学参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：“诚”、“信”，“友”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；“善”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【解答】解：该正方形的面积为22(1)21aaa+=++．故选：A．【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式．3．【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是3，底边是7时，337+，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，377+，能构成三角形，则其周长37717=++=．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．4．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则解决此题．【解答】解：A．根据合并同类项法则，639aaa+，那么A不符合题意．B．根据同底数幂的乘法，336aaa=，那么B不符合题意．C．根据幂的乘方，339()aa=，那么C符合题意．D．根据同底数幂的除法，18216aaa=，那么D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．5．【分析】根据等腰三角形的性质得到20BADCAD==，ABCACB=，根据三角形内角和定理求出ACB，根据角平分线的定义计算即可．【解答】解：ABAC=，AD是ABC的中线，20BADCAD==，ABCACB=，18040702ACB−==，7/19CE是ABC的角平分线，1352ACEACB==，故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．6．【分析】根据平方差公式的结构特征解决此题．【解答】解：A．根据平方差公式的结构特征，22ab−−不能用平方差公式进行因式分解，那么A不符合题意．B．根据平方差公式的结构特征，2222()xyxy+−=+不能用平方差公式进行因式分解，那么B不符合题意．C．根据平方差公式的结构特征，2222()()xyxy−+−=+不能用平方差公式进行因式分解，那么C不符合题意．D．根据平方差公式的结构特征，221(1)(1)(1)mmmm−+=−−=−+−，21m−+能用平方差公式进行因式分解，那么D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．7．【分析】到ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，到ABC三个顶点距离相等的点的坐标为(0,0)，故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．【分析】①利用等边对等角得：APOABO=，DCODBO=，则APODCOABODBOABD+=+=，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是ABD的角平分线，可作判断；③证明60POC=且OPOC=，即可证得OPC是等边三角形；④证明OPACPE，则AOCE=，得ACAECEAOAP=+=+．【解答】解：①如图1，连接OB，ABAC=，ADBC⊥，BDCD=，111206022BADBAC===，OBOC=，9030ABCBAD=−=8/19OPOC=，OBOCOP==，APOABO=，DCODBO=，30APODCOABODBOABD+=+==，故①正确；②由①知：APOABO=，DCODBO=，点O是线段AD上一点，ABO与DBO不一定相等，则APO与DCO不一定相等，故②不正确；③180APCDCPPBC++=，150APCDCP+=，30APODCO+=，120OPCOCP+=，180()60POCOPCOCP=−+=，OPOC=，OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AEPA=，连接PB，18060PAEBAC=−=，APE是等边三角形，60PEAAPE==，PEPA=，60APOOPE+=，60OPECPECPO+==，APOCPE=，OPCP=，在OPA和CPE中，PAPEAPOCPEOPCP===，()OPACPESAS，AOCE=，9/19ACAECEAOAP=+=+，ABAOAP=+，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．【解答】解：0(21)1x−=，210x−，解得：12x．故答案为：12．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握相关定义是解题关键．10．【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求出m、n的值，代入计算可得．【解答】解：点(,)Amn与点(3,2)B−关于y轴对称，3m=、2n=，所以325mn+=+=，故答案为：5．【点评】本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关