南京市2023高三年级学情数学调研7月预演答案解析

—1—南京市2023届高三年级学情调研（7月预演）数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若|1＋iz|＝|3＋4i|，则|z－i|＝A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】|z－i|＝|1＋iz|＝|3＋4i|＝5．2．若集合U＝N*，M＝{x∈N*|y＝tanπ2x}，N＝{y|y＝x＋4x，12≤x≤4}，则(∁UM)∩N＝A．{5，7}B．{4，5，6，7}C．[4，8]D．[4，172]【答案】A【解析】因为∁UM＝{x|x＝2k＋1，k∈N}，N＝[4，172]，所以(∁UM)∩N＝{5，7}．3．在△ABC中，记CA→＝m，CB→＝n，则AB→·(CA→＋CB→)＝A．m－nB．m＋nC．n2－m2D．m2＋n2【答案】C【解析】因为AB→＝CB→－CA→＝n－m，所以AB→·(CA→＋CB→)＝(n－m)·(n＋m)＝n2－m2．4．在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC＝3．则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为A．π3B．2π3C．πD．4π3【答案】C—2—【解析】由图形易知BC边上的高为1，所以V＝13Sh＝13π·3＝π．5．从1至8的8个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数和为偶数的概率为A．1114B．514C．47D．37【答案】D【解析】p＝12C28＝37．6．已知函数f(x)＝sin(x＋π9)＋sin(5π9－x)，g(x)＝f(f(x))，则g(x)的最大值为A．2B．3C．32D．2【答案】B【解析】记t＝x＋π9，则f(x)＝h(t)＝sint＋sin(t＋π3)＝32sint＋32cost，所以h(t)＝3sin(t＋π6)∈[－3，3]，且3＞π3，所以f(f(x))最大为3．7．双曲线C：x2a2－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C左支上一动点，直线AF2与C的右支交于点B，且|AB|＝3a，△ABF1与△BF1F2的周长相等，则|F1F2|＝A．233B．433C．23D．43【答案】B【解析】记C的焦距为2c，则|F1F2|＝2c＝2a2＋1，又△ABF1与△BF1F2的周长相等，即|AB|＋|AF1|＝|F1F2|＋|BF2|，又|AB|＝3a，且|AB|＋|BF2|－|AF1|＝2a，即2a＝a2＋1，a2＝13，所以|F1F2|＝2a2＋1＝433．8．若函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)g(x)＝g(x＋2)f(x－2)，f(2022)g(2024)＝2，则∑23k＝0f(2k)g(2k＋2)＝A．28B．30C．46D．48【答案】B【解析】因为f(x)g(x)＝g(x＋2)f(x－2)，所以f(x)g(x＋2)·f(x－2)g(x)＝1，记h(x)＝f(x)g(x＋2)，所以h(x)h(x－2)＝1，h(x＋2)h(x)＝1，则h(x)＝h(x＋4)，—3—所以h(2k)＝h(2(k＋2))，f(2022)g(2024)＝f(2)g(4)＝2，且f(2)f(0)＝g(2)g(4)，则f(0)g(2)＝12，所以∑23k＝0f(2k)g(2k＋2)＝(12＋2)×12＝30．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xa＋yb＝1与x轴交于点A，与y轴交于点B，圆C：x2＋y2－ax－by－c＝0，则A．若c＝0，则点O在圆C上B．直线l与坐标轴围成的三角形的面积为ab2C．若点O在圆C内部，则c的取值范围为(0，＋∞)D．若a＝b＝c＝－83，则圆C与△OAB的中位线相切【答案】ACD【解析】对于A，圆C：(x－a2)2＋(y－b2)2＝a2＋b24＋c＝a2＋b24，令x＝y＝0，恰符合；对于B，面积为|ab|2；对于C，a2＋b24＋c＞a2＋b24，即c＞0；对于D，圆C：(x＋43)2＋(y＋43)2＝89，中位线3x＋3y＋4＝0恰与圆C相切．10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝an＋1an，则A．an＋1≥2anB．{an＋1an}是递增数列C．{an＋1－4an}是递增数列D．an≥n2－2n＋2【答案】ABD【解析】对于A，因为an＋1an＝an＋1an≥2，所以an＋1≥2an；对于B，因为an＋1an＝an＋1an，所以{an＋1an}是递增数列；对于C，由an＋1－4an＝(an－2)2－3，可知{an＋1－4an}不是递增数列；对于D，因为an＞1，所以an＋1－a2n＝1＜an＋1－an，所以an＋1≥n＋1，an≥n，所以an＋1＝a2n＋1≥n2＋1，即an≥(n－1)2＋1＝n2－2n＋2．—4—11．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，AB⊥AD，且P为CC1中点，Q为AA1上一动点，则A．|PQ|∈[5，6]B．三棱锥B－QPB1的体积为23C．存在点Q使得BD1与平面QPB1垂直D．存在点Q使得AC1与平面QPB1垂直【答案】AB【解析】以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，对于A，P(0，1，1)，Q(2，0，q)，所以|PQ|＝(q－1)2＋5，且q∈[0，2]，所以|PQ|∈[5，6]；对于B，VB－QPB1＝VQ－BPB1＝13×1×12×2×2＝23；对于C，BP→＝(－2，0，1)，BQ→＝(0，－1，q)，BD1→＝(－2，－1，2)，设平面QPB1的法向量n＝(x，y，z)，且n·BP→＝0，n·BQ→＝0，即－2x＋z＝0，－y＋qz＝0．则n可以是(1，2q，2)，所以BD1→不可能平行于n；对于D，因为AC1→＝(－2，1，2)，所以AC1→也不可能平行于n．12．设k∈R且k≠0，n≥2，n∈N*，(1＋kx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则A．∑ni＝0ai＝2nB．∑ni＝1ai＝(1＋k)n－1C．∑ni＝1iai＝nk(1＋k)n－1D．∑ni＝2i2ai＝2n(n－1)k2(1＋k)n－2【答案】BC【解析】对于A，代入x＝1得∑ni＝0ai＝(1＋k)n；对于B，代入x＝0得a0＝1，所以∑ni＝1ai＝(1＋k)n－1；对于C，对等式两边x同时求导得nk(1＋kx)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1(*)，代入x＝1得∑ni＝1iai＝nk(1＋k)n－1；对于D，对(*)式两边x同时求导得nk2(n－1)(1＋kx)n－2＝2a2＋6a3x＋…＋n(n－1)anxn－2，代入x＝1，则∑ni＝2i(i－1)ai＝nk2(n－1)(1＋k)n－2，—5—所以∑ni＝2i2ai＝∑ni＝2i(i－1)ai＋∑ni＝2iai＝nk2(n－1)(1＋k)n－2＋nk(1＋k)n－1－a1＝nk(nk＋1)(1＋k)n－2－nk．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设a，b≥0，且2a＋b＝1，则ab的最小值为____________．【答案】0【解析】ab＝(b－1)24b＝b4＋14b－12≥0，当且仅当a＝0，b＝1时取等．14．已知函数f(x)＝alnx＋bx＋x，g(x)＝f′(x)．若g(1)＝g(3)＝0，则f(2)＝____________．【答案】－4ln2＋12【解析】因为g(x)＝f′(x)＝ax－bx2＋1＝x2＋ax－bx2，且g(1)＝g(3)＝0，即－a＝4，－b＝3，所以f(x)＝－4lnx－3x＋x，f(2)＝－4ln2＋12．15．已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为____________．【答案】30π3【解析】设外接球半径为r，外接球球心到底面的距离为h，则h＋r＝263，r2＝h2＋43，所以r＝62，由几何图形可知交线半径为306，所以交线长度为2π·306＝30π3．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(p，0)，则C的方程为____________；若P，F两点关于y轴对称，且以PF为直径的圆与C的一个交点为A，则cos∠OAF＝____________．【答案】y2＝8x；5－12【解析】因为y2＝2px的焦点为(p2，0)，所以p2＝p，解得p＝4，则C的方程为y2＝8x；因为P，F两点关于y轴对称，且OF＝2，—6—所以以PF为直径的圆为x2＋y2＝4，设A(x0，y0)，则OA→＝(x0，y0)，FA→＝(x0－2，y0)，联立y2＝8x，x2＋y2＝4．则x2＋8x－4＝0，解得x0＝25－4，且cos∠OAF＝OA→·FA→|OA→|·|FA→|＝12－45224－85＝5－12．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞1，{Sn－12a2n}是公差为12的等差数列．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a1，a2，a6可构成三角形的三边，求S13a14的取值范围．解：（1）因为{Sn－12a2n}是公差为12的等差数列，所以Sn－12a2n－(Sn－1－12a2n－1)＝12，即(an－1)2＝a2n－1，又an＞1，所以an－an－1＝1，所以{an}是等差数列；（2）因为a1，a2，a6可构成三角形的三边，所以2a1＋1＞a1＋5，即a1＞4，又S13a14＝13a7a14＝13a1＋78a1＋13＝13－91a1＋13，且a1＞4，所以S13a14∈(13017，13)．18．（12分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点为A(0，1)，右焦点为F(1，0)．（1）求C的方程；（2）若P为C上一点，且tan∠AFP＝2＋3，求直线PF的方程．解：（1）记C的焦距为2c，则b＝c＝1，所以a＝2，C的方程为x22＋y2＝1；（2）记坐标原点为O，且tan∠AFP＝tan(∠AFO＋∠PFO)，或tan∠AFP＝tan(∠PFO－∠AFO)，—7—因为tan∠AFP＝2＋3＞0，b＝c＝1，所以∠AFO＝45°，所以tan∠AFP＝tan∠AFO＋tan∠PFO1－tan∠AFOtan∠PFO＝1＋tan∠PFO1－tan∠PFO＝2＋3，或tan∠AFP＝tan∠PFO－tan∠AFO1＋tan∠PFOtan∠AFO＝tan∠PFO－11＋tan∠PFO＝2＋3，所以tan∠PFO＝33或－3，记直线PF的斜率为k，则k＝tan∠PFO＝33或－3，所以PF的方程为y＝33(x－1)或y＝－3(x－1)，即3y－x＋1＝0或3x＋y－3＝0．19．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2c2＝a2＋b2－c2ab．（1）若C＝π4，求A，B；（2）若△ABC为锐角三角形，求abcos2B的取值范围．解：（1）因为a2－b2c2＝a2＋b2－c2ab＝2cosC，所以sin2A－sin2B＝2sin2CcosC＝sin2CsinC＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sinCsin(A－B)，代入C＝π4，则sin(A－B)＝1，所以A－B＝π2，且A＋B＝3π4，所以A＝5π8，B＝3π8；（2）由（1）知sin2C＝sin(A－B)，①当2C＝A－B时，且A＋B＋C＝π，若△ABC是锐角三角形，则A＜π2，所以2A＝π＋C＜π，不成立；②当2C＋A－B＝π时，且A＋B＋C＝π，所以C＝2B，所以3B＞π2，则π6＜B＜π4，且C＝2B∈(π3，π2)，A∈(π4，π2)，且abcos2B＝