2022年全国甲卷数学文科高考真题原卷

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，则（）5{2,1,0,1,2},02ABxx∣„ABA．B．C．D．0,1,2{2,1,0}{0,1}{1,2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若．则（）1iz|i3|zzA．B．C．D．454225224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若π()sin(0)3fxxπ2C关于y轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．161413126，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．B．C．D．151325237．函数在区间的图像大致为（）()33cosxxfxx,22A．B．C．D．8．当时，函数取得最大值，则（）1x()lnbfxaxx2(2)fA．B．C．D．1112129．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为1111ABCDABCD1BDABCD11AABB，则（）30A．B．AB与平面所成的角为2ABAD11ABCD30C．D．与平面所成的角为1ACCB1BD11BBCC4510．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和2πS甲，体积分别为和．若，则（）S乙V甲V乙=2SS甲乙=VV甲乙A．B．C．D．52210510411．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，2222:1(0)xyCabab1312,AAB为C的上顶点．若，则C的方程为（）121BABAA．B．C．D．2211816xy22198xy22132xy2212xy12．已知，则（）910,1011,89mmmabA．B．C．D．0ab0ab0ba0ba二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量．若，则______________．(,3),(1,1)mmababm14．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为210xy(3,0)(0,1)MAMA______________．15．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C2222:1(0,0)xyCabab2yx无公共点”的e的一个值______________．16．已知中，点D在边BC上，．当取ABC△120,2,2ADBADCDBDACAB得最小值时，______________．BD三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，22()()()()()nadbcKabcdacbd2PKk…0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记为数列的前n项和．已知．nSna221nnSnan（1）证明：是等差数列；na（2）若成等比数列，求的最小值．479,,aaanS19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是ABCD边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它cm,,,EABFBCGCDHDA△△△△们所在的平面都与平面垂直．ABCD（1）证明：平面；EF∥ABCD（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线32(),()fxxxgxxa()yfx11,xfx的切线．()ygx（1）若，求a：11x（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线的焦点为F，点，过的直线交C于M，N两2:2(0)Cypxp(,0)DpF点．当直线MD垂直于x轴时，．3MF（1）求C的方程：（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为,MDND,MNAB．当取得最大值时，求直线AB的方程．,（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程xOy1C26txyt2C为（s为参数）．26sxys（1）写出的普通方程；1C（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为3C，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．2cossin03C1C3C2C23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知均为正数，且，证明：,,abc22243abc（1）23abc„（2）若，则．2bc113ac…2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）数学（文科）参考答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.##340.7514.22(1)(1)5xy15.2（满足皆可）15e16.##311+3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，121378（2）有18.（1）证明见解析；（2）．7819.（1）如图所示：，分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以,ABBC,MNMN,EABFBCAA，，又平面平面，平面平面,EMABFNBCEMFNEABABCDEAB，平面，所以平面，同理可得平面ABCDABEMEABEMABCDFN，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形ABCD//EMFNEMFN为平行四边形，所以，又平面，平面，EMNF//EFMNEFABCDMNABCD所以平面．//EFABCD（2）．6403320.（1）3（2）1,21.（1）；24yx（2）.:24ABxy（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（1）；2620yxy（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．31,CC1,121,232,CC1,121,2[选修4-5：不等式选讲]23.（1）证明：由柯西不等式有，222222221112abcabc所以，23abc当且仅当时，取等号，21abc所以；23abc（2）证明：因为，，，，由（1）得，2bc0a0b0c243abcac即，所以，043ac1143ac由权方和不等式知，22212111293444acacacac当且仅当，即，时取等号，124ac1a12c所以.113ac