2021年2月浙江省七彩阳光新高考研究联盟高考数学联考试卷

第1页（共19页）2021年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高考数学联考试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（4分）已知集合{|04}Mxx，2{|230}Nxxx，则(MN)A．(，1)(0，)B．(0,3)C．(3,4)D．(1,4)2．（4分）已知i是虚数单位，复数3()aiaRi的虚部为1，则复数2zai的模为()A．6B．5C．29D．33．（4分）已知实数x，y满足约束条件121050xxyxy…„„，则目标函数2zxy的最小值是()A．4B．1C．2D．54．（4分）已知m、n表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，且m，n，则“”是“//mn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）某几何体的三视图如图所示，若棱长为a的正方体的外接球表面积为12，则该几何体的体积为()A．103B．10C．143D．2636．（4分）函数||sin()1axxxfxa的图像不可能是()A．B．C．D．第2页（共19页）7．（4分）设O为坐标原点，直线yb与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于A，B两点，若OAB的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值是()A．16B．8C．4D．28．（4分）十三世纪意大利数学家列昂那多斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}na满足以下关系：11a，21a，*12(3,)nnnaaannN…，记其前n项和为nS，若2020(amm为常数），则2018S的值为()A．2mB．1mC．mD．1m9．（4分）在正三棱台111ABCABC中，1113362ABAAAB，D是BC的中点，设1AD与BC、1BB、BA所成角分别为，，，则()A．B．aC．D．10．（4分）已知实数x，y满足221xy，01x，01y，当41xy取最小值时，xy的值为()A．34B．33C．3D．1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）设等差数列{}na的公差为非零常数d，且12a，若1a，2a，4a成等比数列，则公差d，na．12．（6分）圆22:430Cxyx的半径为，若直线1ykx与圆C有公共点，则实数k的取值范围是．13．（6分）二项式732()xx的展开式中，各项系数和为，含3x项的系数是．14．（6分）在ABC中，cos(2)cos0aCcbA，2b，43B„„，则A，边长c的取值范围为．15．（4分）在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖．记获奖的人数为X，则X的数学期望为．16．（4分）已知函数21()sin|sin|(,)22bfxxxaabR，若对于任意xR，均有|()|1fx„，则ab的最大值是．第3页（共19页）17．（4分）已知||||1OAOB，若存在m，nR，使得mABOA与nABOB夹角为60，且1|()()|2mABOAnABOB，则||AB的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知0，(3sinax，cos)x，(cos,cos)bxx，()fxab，1x，2x是1()2yfx的其中两个零点，且12||minxx．（1）求()fx的单调递增区间；（2）若(0,)2，1()210f，求sin2的值．19．（15分）如图1，在矩形ABCD中，22BCAB，E是AD中点，将CDE沿直线CE翻折到CPE的位置，使得3PB，如图2．（1）求证：面PCE面ABCE；（2）求PC与面ABP所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}na的前n项和nS满足22(2)nnSan，*nN（1）求证：数列{21}nan是等比数列，并求{}na的通项公式；（2）设1{}na的前n项和为nT，求证：83nT，*nN．21．（15分）已知椭圆221:12yCx，抛物线22:2(0)Cypxp，点(1,0)A，斜率为k的直线1l交抛物线于B、C两点，且12ACCB，经过点C的斜率为12k的直线2l与椭圆相交于P、Q两点．（1）若抛物线的准线经过点A，求抛物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p，使得四边形APBQ的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p的值；若不存在，请说明理由．第4页（共19页）22．（15分）已知函数()1xfxeax（1）讨论函数()()fxgxx在其定义域内的单调性；（2）若()0fx…对任意的xR恒成立，设()()xhxefx，证明：()hx在R上存在唯一的极大值点t，且3()16ht．第5页（共19页）2021年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高考数学联考试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．【分析】解不等式求出集合N，对M，N取并集即可．【解答】解：{|04}Mxx，2{|230}{|13}Nxxxxx，则(1,4)MN,故选：D．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题．2．【分析】由复数的运算法则结合复数3()aiaRi的虚部为1，求出a的值，得到z的代数形式，由模的计算公式求解即可．【解答】解：3(3)31aiaiiaii，因为复数3()aiaRi的虚部为1，所以1a，则1a，故复数22zaii，所以22||2(1)5z．故选：B．【点评】本题考查了复数四则运算的应用，主要考查了复数定义的理解与复数模的计算，属于基础题．3．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立21050xyxy，解得(3,2)A，由2zxy，得2yxz，由图可知，当直线2yxz过A时，第6页（共19页）直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质进行判断即可．【解答】解：若//mn，则当m时，有n，n，，即必要性成立，若m，n，则当时，则//mn不一定成立，故“”是“//mn”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用面面垂直的性质是解决本题的关键．5．【分析】根据外接球表面积求出半径，再求出正方体的棱长a，根据三视图得出该几何体的结构特征，从而求出几何体的体积．【解答】解：设外接球的半径为R，则2412R，解得3R，所以棱长为a的正方体的对角线长为3223aR,解得2a．由三视图知，该几何体是直三棱柱，截去一个三棱锥，画出直观图，如图所示：计算几何体的体积为：111102222212323VVV三棱柱三棱锥．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图及外接球表面积计算问题，是中档题．6．【分析】利用当0x时，sinx的符号变化进行判断即可．【解答】解：当0x时，无论a取何值，ax和||1xa的符号确定，不会发生变化，而当0x时，1sin1x„„,sinx有正值也有负值，即()fx不可能恒为正值，故C错误，第7页（共19页）故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用sinx的符号变化是解决本题的关键，是基础题．7．【分析】利用双曲线的性质，直接求出点A,B的坐标，利用三角形的面积，即可解出．【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程为byxa,(,)Aab,(,)Bab,OAB的面积为2，1222ab,2ab,又22224cabab…,2c,故选：C．【点评】本题考查了双曲线的性质，三角形面积，学生的运算能力，属于基础题．8．【分析】由21a，可得123420182123420181aaaaaaaaaaa，运用数列的递推式可得所求和．【解答】解：因为11a，21a，12(3,*)nnnaaannN…，所以数列{}na的前2018项和为123420182123420181aaaaaaaaaaa32342018aaaaa4342018545201811aaaaaaaa65620182020111aaaaam．故选：B．【点评】本题考查斐波那契数列的理解和运用，以及数列的求和，考查转化思想和运算能力，属于基础题．9．【分析】利用余弦定理求出1AD的长度，然后求出异面直线所成的角，，的余弦值，再根据余弦函数的单调性即可求解．【解答】解：如图1，令11BC的中点为1D，连接11AD，1DD，在平面11ADDA中，过1A作1DD的平行线1AE得图2，在平面11BCCB中，连接1BD得图3，过1B作1BFBC，由题意可得1BF，12BB，所以113DDBF，60B，第8页（共19页）又因为2DF，所以17BD，在1BCB中，127BC，则在图2中，33AD，23DE，所以3AE，又因为12AA，113AEDD，所以在三角形1AAE中由余弦定理可得：14333cos3223AAD，在三角形1AAD中由余弦定理可得：2114273cos32233ADAAD，解得119AD，①连接1AC，则在三角形1ADC中，119AD，3DC，127AC，所以119928cos02193ADC，所以190ADC，即90；②过1A作11//AMBB，则2AM，在三角形AMD中，30MAD，33AD，则由余弦定理可得32742233132MD，在三角形1AMD中，12AM，113,19MDAD，所以1419135519cos382219219MAD，所以519cos38，③在三角形11ABD中，11114,19,7ABADBD，所以111619728719cos382419819BAD，即719cos38，因为cosyx在(0，]2单调递减，且coscoscos，所以，故选：D．第9页（共19页）【点评】本题考查了异面直线所成的角，涉及到棱台的性质以及余弦函数的单调性，考查了学生的空间想象能力和运算能力，属于难题．10．【分析】令41zxy，由221xy和“1”的代换，得到2z的关于xy的表达式，然后利用换元法构造函数()ft，结合题中给出的选项进行判断即可．【解答】解：令41zxy，由221xy，所以2222222222216181618()()()zxyxyxyxyxyxyxy2222171688yxxyxyyx，令xty，则222168()178zfttttt，所以32328()28fttt