重庆市育才中学校2022年高三上学期适应性数学试卷一试题解析

2021-2022学年重庆市育才中学高三（上）适应性数学试卷（一）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，8}C．D．∅2．若复数z＝m2+m+（m+1）i是纯虚数，其中m是实数，则＝（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i3．命题“∀x＞0，tanx＞sinx”的否定为（）A．∃x＞0，tanx≤sinxB．∃x≤0，tanx＞sinxC．∀x＞0，tanx≤sinxD．∀x≤0，tanx≤sinx4．下列函数中，值域为[0，+∞）且在定义域上为单调递增函数的是（）A．y＝ln（x2+1）B．y＝xC．y＝ex+e﹣x﹣2D．y＝5．已知函数f（x），其中a＞0，且a≠1，若f（x）在R上单调，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）6．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）7．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c8．定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x+1，g（x）＝B．f（x）＝•，g（x）＝C．f（x）＝（x﹣1）0，g（x）＝1D．f（x）＝，g（x）＝10．下列函数中，是奇函数或者增函数的是（）A．B．C．f（x）＝ex+e﹣xD．11．已知f（x）＝sinx+x（x∈[﹣1，1]），且实数a，b满足f（a）+f（b﹣1）＝0成立，则以下正确的是（）A．ab的最大值为B．的最小值为9C．b﹣a的最大值为3D．a3+b3的最大值为712．一般地，若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f（x）的“跟随区间”．下列结论正确的是（）A．若[1，b]为f（x）＝x2﹣2x+2的跟随区间，则b＝2B．函数f（x）＝1+存在跟随区间C．若函数f（x）＝m﹣存在跟随区间，则m∈（﹣，0]D．二次函数f（x）＝﹣x2+x存在“3倍跟随区间”三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（3）+9＝．14．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则f（2021）+f（2022）＝．15．已知f（x）＝（），g（x）＝．若对任意的x1∈R，都存在x2∈[1，+∞），使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为．16．已知实数a，b满足a＝e7﹣a，3+lnb＝e4﹣lnb，则ab＝．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设{an}是等差数列，前n项和为Sn；{bn}是各项均为正的等比数列，其前n项和为Tn，已知b1＝1，b2＝b3﹣2，b4＝a3+a5，b5＝a4+2a6．（1）求an和Tn；（2）若Sn+2Tn＝2an+4bn，求正整数n的值．18．设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，已知2bcosB＝ccosA+acosC．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝3，求△ABC的面积的最大值．19．新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50～100分之间），将抽取的成绩分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求这300名同学物理平均成绩与标准差s的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（结果精确到1）（Ⅱ）已知全年级同学的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ分别取（Ⅰ）中的，s．现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间（62，95）的概率（结果精确到0.1）；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在（62，95）的概率不低于1%，求n的最大值（n为整数）附：lg2≈0.301，≈10.77．若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.96．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）设＝λ（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．21．已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝2x+alnx2（x＞0）在x＝1处的切线l与直线4x﹣y＝0平行，函数g（x）＝f（x）+bx2﹣4x．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，证明：g（x1）﹣g（x2）＜（2b﹣1）（x1﹣x2）．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，8}C．D．∅解：A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{1，2}．故选：A．2．若复数z＝m2+m+（m+1）i是纯虚数，其中m是实数，则＝（）A．iB．﹣iC．2iD．﹣2i解：复数z＝m2+m+（m+1）i是纯虚数，所以，解得m＝0，所以z＝i，所以＝＝﹣i．故选：B．3．命题“∀x＞0，tanx＞sinx”的否定为（）A．∃x＞0，tanx≤sinxB．∃x≤0，tanx＞sinxC．∀x＞0，tanx≤sinxD．∀x≤0，tanx≤sinx解：∵命题“∀x＞0，tanx＞sinx”是特称命题，∴命题的否定为：∃x＞0，tanx≤sinx．故选：A．4．下列函数中，值域为[0，+∞）且在定义域上为单调递增函数的是（）A．y＝ln（x2+1）B．y＝xC．y＝ex+e﹣x﹣2D．y＝解：对于A，函数y＝ln（x2+1）的定义域为R，由复合函数的单调性可知函数y＝ln（x2+1）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于B，函数y＝在定义域，[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，+∞），符合题意；对于C，函数y＝ex+e﹣x﹣2定义域为R，且为偶函数，不能满足在定义域上单调递增，不符合题意；对于D，函数y＝＝1﹣＜1，不满足值域为[0，+∞），不符合题意．故选：B．5．已知函数f（x），其中a＞0，且a≠1，若f（x）在R上单调，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：函数f（x），其中a＞0，且a≠1，f（x）在R上单调，观察选项，可知：y＝ax﹣2a是减函数，则a＜1．∴y＝﹣4ax+a也是减函数，则﹣4a＜0，即a＞0．且满足（ax﹣2a）max≤（﹣4ax+a）min，可得：1﹣2a≤a，解得：．综上可得：a的取值范围是[，1）．故选：B．6．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．7．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c解：根据题意，函数＝log3（9x+1）﹣log33x＝log3（3x+），其定义域为R，且f（﹣x）＝log3（3x+）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，对于f（x）＝log3（3x+），设t＝3x+，则y＝log3t，t＝3x+≥2＝2，在区间[0，+∞）上，t′＝（3x﹣）ln3＞0，则t＝3x+在区间[0，+∞）上为增函数，又由t≥2，在区间[2，+∞）上，y＝log3t为增函数，故f（x）＝log3（3x+）在区间[0，+∞）上为增函数，＝f（），设g（x）＝ex﹣x﹣1，有g′（x）＝ex﹣1，在区间（﹣∞，0）上，有g′（x）≤0，则g（x）在区间（﹣∞，0]上为减函数，则有g（﹣）＝﹣＞g（0）＝0，即＞；设h（x）＝x﹣ln（x+1），有h′（x）＝1﹣＝，在区间[0，+∞）上，有h′（x）≥0，则h（x）在区间[0，+∞）上为增函数，则h（）＝﹣ln＞h（0）＝0，即有＞ln；综合可得：＞＞ln，而，＝f（），，则有c＜a＜b，故选：C．8．定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）解：当x∈[2，4）时，f（x）＝，可得f（x）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f（x）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（，），∴f（x）在[2，4）上的值域为[3，），∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝f（x+2）＝f（x+4），∴f（x）在[﹣2，0）上的值域为[，），当a＞0时，g（x）为增函数，g（x）＝ax+1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a+1，a+1]，∴，解得a≥；当a＜0时，g（x）为减函数，g（x）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a+1，2a+1]，∴，解得a≤﹣；当a＝0时，g（x）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a的范围是a≥或a≤﹣．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）＝x+1，g（x）＝B．f（x）＝•，g（x）＝C．f（x）＝（x﹣1）0，g（x）＝1D．f（x）＝，g（x）＝解：对于A，f（x）＝x+1，定义域为R，g（x）＝＝x+1的定义域为{x|x≠1}，两函数定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）＝•＝，定义域为[﹣1，1]，g（x）＝的定义域为[﹣1，1]，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，f（x）＝（x﹣1）0＝1，定义域为{x|x≠1}，g（x）＝1的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）＝＝1，定义域为（0，+∞），g（x）＝＝1的定义域为（0，+∞），两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：BD．10．下列函数中，是奇函数或者增函数的是（）A．B．C．f（x）＝ex+e﹣xD．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝sinx+，（0＜x＜），其定义域为（0，），不是奇函数，设