2021年湖南省长郡雅礼一中附中四校高考数学联考试卷解答版理科九全国卷

第1页（共24页）2021年湖南省长郡、雅礼、一中、附中四校高考数学联考试卷（理科）（九）（全国卷）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）若复数(1)(1)zaii的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A．1B．0C．1D．12．（5分）已知向量(1,)ax，(0,2)b，则2||aba的最大值为()A．22B．2C．2D．13．（5分）设mR，则“12m„„”是“直线:0lxym和圆22:(1)(2)3Cxym有公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利．如图是20152019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）．根据图表可得出的正确统计结论是()A．五年来贫困发生率下降了5.2个百分点B．五年来农村贫困人口减少超过九成C．五年来农村贫困人口减少得越来越快D．五年来目标调查人口逐年减少5．（5分）设正实数a、b满足1ab，则下列说法错误的是()A．ab有最大值12B．1122abab有最小值3C．22ab有最小值12D．ab有最大值26．（5分）若数列{}na满足1120nnaa，则称{}na为梦想数列，已知正项数列1{}nb，为梦想数列，且1231bbb，第2页（共24页）则678(bbb)A．4B．16C．32D．647．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()A．sin5()22xxxfxB．cos()22xxxfxC．cos5()|22|xxxfxD．sin5()|22|xxxfx8．（5分）已知将函数()sin()(0)3fxx的图象向左平移6个单位长度得到函数()gx的图象，且()gx的图象关于y轴对称，函数()yfx在[0x，2]上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是()A．7B．()fx在[2，]上单调递增C．2D．()fx的图象关于直线6x对称9．（5分）已知棱长为a的正方体1111ABCDABCD的所有顶点均在体积为323的球O上，动点P在正方形1111ABCD内运动（包含边界），若直线1CC与直线AP所成角的正弦值为13，则()A．2aB．点P运动轨迹的长度为22C．三棱锥11PACD体积的取值范围为328232[,]33D．线段OP长度的最小值为510．（5分）已知抛物线22(0)ypxp上有两个动点M，N，F为该抛物线的焦点．已知0FMFN，以MN为第3页（共24页）直径的圆的周长为8，且过该圆的圆心P作该抛物线准线l的垂线PQ，垂足为Q，则线段||PQ的最大值为()A．42B．22C．4D．811．（5分）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221(0,0)xyabab上点0(Px，0)y处的曲率半径公式为3222200244()xyRabab，则关于下列说法：①对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R；②椭圆22221(0)xyabab上一点处的曲率半径的最大值为a；③椭圆22221(0)xyabab上一点处的曲率半径的最小值为2ba；④对于椭圆2221(1)xyaa上点1(2，0)y处的曲率半径随着a的增大而减小．其中正确的有()A．①③B．①④C．②③D．②④12．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O上，且4ABACBCBDCD，26AD，则球O的表面积为()A．703B．803C．30D．40二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知1021001210(1)(1)(1)(1)xaaxaxax，则8a．14．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．15．（5分）设椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn的公共焦点为1F，2F，将1C，2C的离心率记为1e，2e，点A是1C，2C在第一象限的公共点，若点A关于2C的一条渐近线的对称点为1F，则221211ee．16．（5分）将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有种不同的放法．第4页（共24页）三、解答题（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32sin0cbC．（1）求角B的大小；（2）若33b，4a，求ABC的面积．18．（12分）如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中2ABAD，120BAD，AC，BD垂直相交于点O，2OCOA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD．（Ⅰ）求证：直线DE与平面BCF不平行；（Ⅱ）若1CF，求直线BC与平面BFD所成的角的正弦值．19．（12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且||4BF．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为1k，1k，若1213kk，求直线m的方程．20．（12分）已知函数21()2fxxlnxkxx，()gxlnxkx．（1）当1k时，求()gx的最大值；（2）当10ke时，（ⅰ）判断函数()gx的零点个数；（ⅱ）求证：()fx有两个极值点1x，2x，且1212()()1fxfxxx．21．（12分）“博弈”原指下棋，出自我国《论语阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结第5页（共24页）果或收益的过程．生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元．（Ⅰ）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望．（Ⅱ）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率（假设进行多次游戏，频率可以代替概率），因此双方就面临竞争策略的博弈．甲、乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为2cos(sinxy为参数），直线l的方程为1xy．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM的极坐标方程是3，且与曲线C和直线l在第一象限的交点分别为P，Q，求||PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21|fxx．（1）若(1)(1)5fxfx„，求实数x的取值范围；（2）若(,)a，且0a，求证：(,)x，1()()4fxafxa…．第6页（共24页）2021年湖南省长郡、雅礼、一中、附中四校高考数学联考试卷（理科）（九）（全国卷）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（5分）若复数(1)(1)zaii的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A．1B．0C．1D．1【分析】先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式进行求解．【解答】解：因为2(1)(1)1(1)(1)zaiiiaiaiaai，则222||(1)(1)222zaaa，解得：1a．故选：D．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长求解，属于基础题．2．（5分）已知向量(1,)ax，(0,2)b，则2||aba的最大值为()A．22B．2C．2D．1【分析】利用已知条件推出所求表达式，然后求解最大值即可．【解答】解：向量(1,)ax，(0,2)b，则22221||1abxaxxx，当0x„时，2201xx„，当0x时，221112xxxx„，当且仅当1x时，取等号，所以2||aba的最大值为：1．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的求法，函数的最值的求法，是中档题．3．（5分）设mR，则“12m„„”是“直线:0lxym和圆22:(1)(2)3Cxym有公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由直线与圆的位置关系可得dr„，可解得13m„，再利用集合的包含关系即可得到结论．第7页（共24页）【解答】解：圆22:(1)(2)3Cxym，圆心(1,2)，半径3(3)rmm，若直线l与圆C有公共点，则圆(1,2)到直线的距离|3|32mdm„，解得：13m„，{|12}{|13}mmmm„„Ü„，12m„„是直线:0lxym和圆22:(1)(2)3Cxym有公共点的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．4．（5分）2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利．如图是20152019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）．根据图表可得出的正确统计结论是()A．五年来贫困发生率下降了5.2个百分点B．五年来农村贫困人口减少超过九成C．五年来农村贫困人口减少得越来越快D．五年来目标调查人口逐年减少【分析】结合题中给出的条形图和折线图对选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：对于A，五年来贫困发生率下降了5.70.65.1个百分点，故选项A错误；对于B，(5575551)557590.1%90%，所以五年来农村贫困人口减少超过九成，故选项B正确；对于C，农村贫困人口减少的速度应看直线斜率的绝对值的大小，由图中可知，20182019年的斜率绝对值比20172018年的绝对值小，故选项C错误；对于D，题中给出的图形中没有反映五年来目标调查人口是否逐年