2021年辽宁省沈阳市高考数学质量监测试卷原版答案解析版一模

第1页（共24页）2021年辽宁省沈阳市高考数学质量监测试卷（一）（一模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合{2A，0，2，3}，集合{|20}Bxx„„，则(AB)A．{2，3}B．{2}C．(2,0)D．{2，0}2．（5分）已知i是虚数单位，则复数2020202122izi对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有2女、4男6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同的选派方案有多少种()A．16种B．20种C．96种D．120种4．（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式是4CH，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值()A．12B．13C．14D．155．（5分）在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在CD，若2ABAF，则AEBF的值是()A．2B．2C．0D．16．（5分）5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log(1)SCWN．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1600，若不改变带宽W，而将最第2页（共24页）大信息传播速度C提升50%，那么信噪比SN要扩大到原来的约()A．10倍B．20倍C．30倍D．40倍7．（5分）已知随机变量2~(1,)N，且(0)()PPa„…，则14(0)xaxax的最小值为()A．9B．92C．4D．68．（5分）已知函数()gx，()hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且()()xgxhxex，若函数|1|2()2(1)6xfxgx有唯一零点，则正实数的值为()A．12B．13C．2D．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．（5分）若0a，0b，则使ab成立的充要条件是()A．22abB．22ababC．11bbaaD．11abba10．（5分）已知函数2()2sincos23cos3fxxxx，则下列结论中正确的是()A．()fx的图象是由2sin2yx的图象向左移3个单位得到的B．()fx在[,0]3上单调递增C．()fx的对称中心的坐标是(,0)()26kkZD．函数()()3gxfx在[0，10]内共有8个零点11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点(1,0)F，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的有()A．双曲线C的方程为224413yxB．双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60C．F到双曲线C渐近线的距离为3D．双曲线C的离心率为212．（5分）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱1CC的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有()第3页（共24页）A．存在点G，使OD垂直于平面EFGB．对于任意点G，//OA平面EFGC．直线EF的被球O截得的弦长为2D．过直线EF的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）在正项等比数列{}na中，2256892100aaaa，则59aa．14．（5分）若1cos()63x，则sin(2)6x．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)A，若圆22:()(2)1Cxaya上存在一点M满足||2||MAMO，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知抛物线24xy，点(,2)Mt，[1t，1]，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，直线AB与y轴交于点P，则||||PAPB的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①3cos(coscos)sinAcBbCaA；②2cos2bcCa；③tantantan3tantanABCBC．已知ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，____．（1）求A；（2）若2,10abc，求ABC的面积．18．（12分）已知正项数列{}na的前n项和为nS，且2121nnaSn，22a．（1）求数列{}na的通项公式na；（2）若2nnnba，数列{}nb前n项和为nT，求使2021nT的最小的正整数n的值．第4页（共24页）19．（12分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如表所示：（单位：人）性别器械类徒手类合计男性590女性240合计900（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”？（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加．据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是45，通过徒手类竞赛的概率都是34，且各项目是否通过相互独立．用表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量的分布列和数学期望．（参考数据：212301512900，6555932175，15129003217547)附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk…0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.87920．（12分）如图1，平面四边形ABCE，点D在边CE上，CDDE，且ABCD是边长为2的正方形．沿着直线AD将ADE折起，使平面ADE平面ABCD（如图2)，已知F，H分别是棱EA，EC的中点，G是棱BC上一点．（1）求证：平面DFG平面ABE；（2）若直线GH与平面ABCD所成的角的正切值为22时，求锐二面角FDGH的余弦值．21．（12分）已知椭圆C的方程为22213xya，斜率为(0)kk的直线与C相交于M，N两点．（1）若G为MN的中点，且34OGkk，求椭圆C的方程；第5页（共24页）（2）在（1）的条件下，若P是椭圆C的左顶点，14PMPNkk，F是椭圆的左焦点，要使F在以MN为直径的圆内，求k的取值范围．22．（12分）已知函数()1fxmxlnx，0m．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若22()gxxxe，且关于x的不等式()()fxgx„在(0,)上恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．第6页（共24页）2021年辽宁省沈阳市高考数学质量监测试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合{2A，0，2，3}，集合{|20}Bxx„„，则(AB)A．{2，3}B．{2}C．(2,0)D．{2，0}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：{2A，0，2，3}，{|20}Bxx„„，{2AB，0}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数2020202122izi对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：2020450550511ii，202120201iii，则202020212222112221222(2)(2)2155iiiziiiiii，z在复平面内对应点的坐标为21(,)55，在第四象限．故选：D．【点评】本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有2女、4男6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同的选派方案有多少种()A．16种B．20种C．96种D．120种【分析】根据题意，分2步进行分析：①在6名志愿者中选派3名，要求至少要有1名女教师，②将选出的3人安排到三个社区，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①在6名志愿者中选派3名，要求至少要有1名女教师，有336416CC种分组方法，第7页（共24页）②将选出的3人安排到三个社区，有336A种安排方法，则有16696种不同的选派方法，故选：C．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式是4CH，它作为燃料广泛应用于民用和工业中．近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加．深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题．甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等．请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值()A．12B．13C．14D．15【分析】画出几何体的结构特征，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：设正四面体的棱长为a，正四面体的中心为O，底面三角形的高为：32a，正四面体的高为：22236()323aaa，222236()()323AOaaAO，解得64AOa，甲烷碳氢键之间夹角为．22266()()144cos366244aaaaa．故选：B．【点评】本题考查棱锥的结构特征的应用，空间直线与直线的位置关系，三角形的解法和余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在CD，若2ABAF，则AEBF的值是()第8页（共24页）A．2B．2C．0D．1【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量AE和BF的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A，(2B，0)，(2E，1)，(,2)Fx(2AB，0)，(,2)AFx，22ABAFx，解得1x，(1,2)F(2AE，1)，(12BF，2)2(12)122AEBF故选：A．【点评】本题考