重庆复旦中学高20212022学年高二上学期入学诊断考试数学试题试卷参考答案

1重庆复旦中学2021-2022学年度（上）入学诊断考试高2023届数学试题尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。一、单选题z1.已知复数z满足(3)2iz−=，则(z=)A．3122i+B．3i+C．3122i−D．3i−2．（5分）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙标准差分别为甲、乙，则()A．xx乙甲，乙甲B．xx乙甲，乙甲C．xx乙甲，乙甲D．xx乙甲，乙甲3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=，3c=，6B=，则(b=)A．2B．3C．22D．234．如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1，AB⊥BC，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）A．B．C．D．5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，3AEAF=，则(DF=)A．1233ABAD−+B．1233ABAD−C．1334ABAD−D．1536ABAD−26.暑假期间，甲同学外出旅游的概率是23，乙同学外出旅游的概率是34，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是()A．16B．14C．512D．127．已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A．2−B．32−C．3−D．6−8．在ABC中，ABAC=，D，E分别在AB、AC上，//DEBC．3ADBD=，将ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥ABCED−体积最大时，二面角ABCD−−的大小为()A．2B．3C．4D．6二、多选题9．下列命题为真命题的是()A．若1z，2z互为共轭复数，则12zz为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则43nii+=C．复数52i−的共轭复数为2i−−D．复数为2i−−的虚部为1−10.如图，已知长方形ABCD中，，，，则下列结论正确的是()A.当时，B.当时，C.对任意，不成立D.的最小值为411．已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A．若m⊥，n⊥，则//mnB．若⊥，m，n，则mn⊥C．若l=，//m，//m，则//mlD．若l=，m，ml⊥，则m⊥12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且：：：10：11，则下列结论正确的是()A.：：：5：6B.是钝角三角形3C.的最大内角是最小内角的2倍D.若，则外接圆半径为三、填空题13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中梨花与苹果花的概率为．14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第75百分位数是．15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角60MAN=，C点的仰角45CAB=以及75MAC=；从C点测得60MCA=．已知山高500BCm=，则山高MN=m．16．已知A、B、C、D为同一球面上的四个点．在ABC中，23BAC=，23ABAC==；6AD=，AD⊥平面ABC，则该球的体积为．四、解答题17．（10分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩众数和中位数；18.（12分）已知向量，满足，，且与不共线.若向量与为方向相反的向量，求实数k的值；若向量与的夹角为60，求与的夹角19．（12分）如图，正三棱柱111ABCABC−的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（1）求证：1//BC平面1ABD；（2）求三棱锥11DACB−的体积．419.（12分）袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中红色球有3个，黄色球有2个，绿色球有1个．规定取出红色球记1分，取出黄色球记2分，取出绿色球记3分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3球．规定取出球的总积分多者获胜．求甲、乙平局的概率；从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．21.（12分）如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC⊥，且ACBC=，（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AD与平面ABE所成线面角．22.（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且111tantantanBCA+=．（1）求cosA的最小值；（2）记ABC的面积为S，点P是ABC内一点，且PABPBCPCA===，证明：①2224tanSAbca=+−；②tan2tanA=．5重庆复旦中学2021-2022学年（上）高2023届入学诊断考试答案一、单选题1、A2、C3、B4、A5、D6、C7、D8、B二、多选题9、AD10、BCD11、AC12、ACD三、填空题13、310P=14、5.515、75016、2821．四、解答题17、解：（1）设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.010.01520.0250.005)101x++++=，可得0.30x=，所以频率分布直方图为：（2）众数为75以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是1170107333+=，所以估计本次考试成绩的中位数为1733．18、解：向量与的方向相反，存在实数，使，且不共线，，解得或舍去，；6，，，，，且，19、【解答】证明：（1）设1AB与1AB相交于点P，连接PD，则P为1AB中点D为AC中点，1//PDBC，又PD平面1ABD，1//BC平面1ABD；解：（2）连接1DC，1BC，则1111DACBBADCVV−−=，在正三棱柱111ABCABC−中，D为AC的中点，BDAC⊥，又平面ABC⊥平面11AACC，且平面ABC平面11AACCAC=，BD⊥平面11AACC，在等边三角形ABC中，由2AB=，得3BD=，又正三棱柱的侧棱长为3，1112332DACS==，111113313DACBBADCVV−−===．20.解：记红色球为a，b，c，黄色球为d，e，绿色球为f，则甲取球的所有情况为：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，7cdf，cef，def，共20种，由于6个小球总分为分，故甲、乙平局时都得5分，此时，甲取出的三个小球中有1个红色球和2个黄球，或有2个红色球和1个绿色球，共有6种情况，故平局的概率由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的三个小球中有1个绿色球和2个黄色球，或有1个绿色球和1个黄色球和1个红色球共7种情况，故甲获胜的概率由可得平局的概率，所以甲输，即乙获胜的概率所以甲、乙获胜的概率相同．同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同．故先后取球的顺序不影响比赛的公平性．21、（1）证明：ACDE是正方形，AMEC⊥，正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，ACBC⊥，BC⊥平面ACDE，AM平面ACDE，AMBC⊥，ECBCC=，AM⊥平面EBC．（2）过C作CFAB⊥交AB与点F;ACDE是正方形，AEAC⊥ACDEABCACDEABCAC⊥⊥=面面且面面AEABC⊥面CFACEAECF⊥面CFABE⊥面即C到面ABE的距离为2CF=又////CDAECDACE面D到面ACE的距离2hCF==设直线AD与平面ABE所成线面角,故21sin222hAD===8直线AD与平面ABE所成线面角为6．22解：（1）因为111tantantanBCA+=，所以coscoscossinsinsinBCABCA+=，所以2cossinsincossincossinsinsinsinsinBCBCAAABCBC+==，由正弦定理可得2cosaAbc=，而由余弦定理得2222cos2bcaaAbcbc+−==，所以2223abc=+．因为22222223cos233bcbcbcAbcbc++−+==…，当且仅当bc=时，等号成立，所以cosA的最小值为23．证明：（2）设PAx=，PBy=，PCz=，PAB，PBC，PCA的面积分别为1S，2S，3S，①因为222cos2bcaAbc+−=，所以2222cosbcAbca=+−，而1sin2SbcA=，所以222sin2sin4tancos2cosAbcASAAbcAbca===+−．②由（1）中可得2223abc=+，所以222242tanSSAbcaa==+−，在PAB，PBC，PCA中，同理可得：312222222222444tanSSScxyayzbzx===+−+−+−，所以22214()tanScxy=+−，22224()tanSayz=+−，22234()tanSbzx=+−，所以222212344()()tan4tanSSSSabca=++=++=，即2tanSa=，所以tan2tanA=．