2022年高考数学大题冲刺新高考专用专题04立体几何解析版

1专题04立体几何立体几何解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突破的核心内容之一.高考数学立体几何解答题，主要采用“论证与计算”相结合的方式，在命题上一般包含2~3小问，会涉及到空间点、线、面位置关系的判定与探究，特别是平行与垂直关系的证明；空间角(包括异面直线夹角、直线与平面所成角和二面角)或空间距离(包括空间几何体的体积、表面积和点到平面的距离等)的计算.立体几何在解题能力方面的要求是：在数学思想上，一般涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想；在解题方法上，一般涉及几何法、向量法，往往是两种方式相结合进行处理.一、线线角、线面角、二面角、距离问题例1.如图，在直三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱1AA、1CC上的点，1113ADCEAA，1111ACBC．(1)求证：平面1DEB平面11AABB；(2)若直线1BD与平面ABC所成的角为45°，且11112ABAC，求二面角1DBEB的正弦值．本类试题一般分两种设问方式，一种是直接求解空间角或空间距离；另外一种是已知空间角或者空间距离，求解相关几何量的大小..解决这类问题一般需要先根据题意建立合适的空间直角坐标系，然后通过数学抽象将几何问题转化为代数问题，找到关键量的坐标表示(需引入参数，但要求尽可能少的参数，一般可以用共线向量处理)，再用待定系数的方法进行直接运算，求解函数或方程，得出参数的具体值，最后还原到几何体中求解相应的几何量.21.三棱锥PABC中，ACBC，平面PAC平面ABC，2PAPCAC，4BC，,EF分别为PC和PB的中点，平面ABC平面AEFl.（1）证明：直线//lBC；（2）设直线PM与直线EF所成的角为，直线PM与平面AEF所成的角为，则在直线l上是否存在一点M，使得2.若存在，求出||AM的值；若不存在，说明理由.1.【2022·全国·高三专题练习】如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱2PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中//BCAD，ABAD，222ADABBC，O为AD中点．（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由．31．【2021·全国·高考真题】如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD；（2）若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积.二、翻折问题例2.如图，四边形ABCD中，π2ADC，24ADCD，AEEC，沿对角线AC将△ACD翻折成△ACD，使得BECD.(1)证明：BDBC；(2)若ABD△为等边三角形，求二面角DABC的余弦值.4翻折问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程.解决翻折问题，关键是对翻折前后不变量及不变性的把握，即将翻折前后的图形进行比较，弄清楚哪些角和长度变了，哪些没变(可以观察各面的位置关系变化，同一面上的边角基本不会变)；哪些点、线共面，哪些不共面；翻折后的线与原来的线有什么关系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直线.2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝1，2AB，将平面ABD沿BD翻折得到四面体A'﹣BCD，点E为棱A'B的中点，过点D作DF⊥A'C于点F，当四面体A'﹣BCD的体积最大时．（1）证明：EF⊥A'C；（2）求点B到平面DEF的距离．2.【2022·重庆·一模】如图，在平面四边形ABCD中，,,BCCDBCCDADBD，将ABD△沿BD翻折，使点A到达点P的位置，且平面PBD平面ABCD.(1)证明：BCPC；5(2)若M为PB的中点，二面角PBCD的平面角等于45，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.2．【2018·全国·高考真题（理）】如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.三、存在性问题例3.如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面,,ABCDBCABAD∥BC，2,ABADCDPD，异面直线PA与CD所成角等于60.(1)求证：平面PCD平面;PBD(2)在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由.解决存在性问题主要有以下方法：(1)几何法，即分析法与综合法并用，一般先假设存在，借助相应的性质定理进行分析推理，得出结论.若存在，再用判定定理证明，即先猜后证；若不存在，则用反证法证明.(2)向量法，即建立适当的空间直角坐标系，利用假设存在符合题意的条件，结合题意，根据空间向量的坐标运6算列出方程.若方程有解，则存在；若方程无解或者所求不符合题意，则不存在.3.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2PAADCD，3BC，23PC，E为PB的中点，______．从①CDBC；②//BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．(1)求证：四边形ABCD是直角梯形．(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PB上是否存在一点F，使得//AF平面PCD？若存在，求PFPB的值；若不存在，请说明理由．3.【2022·湖南岳阳·一模】如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，BCAC．(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；(2)若BCSC，SCSA，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．73．【2016·北京·高考真题（理）】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，,,,1,2,5PAPDPAPDABADABADACCD.（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.四、开放性问题例4.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，122AAAB，E，F分别为棱1AA，1CC的中点，G为棱1DD上的动点.(1)求证：B，E，1D，F四点共面；(2)是否存在点G，使得平面GEF平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由.8开放性问题相对于存在性问题而言，有其结论的多样性，即结论的不确定性.如果结论是肯定的，需要通过推理论证或者转化为向量运算进行说明；如果是否定的，则需要得出矛盾，利用反证法或者通过数量关系的矛盾性解决.4.如图，梯形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直，ABCD，ABEF，1CDEF，2ABADAF，2BADBAF，点M为棱BE的中点．(1)求证：AF平面ABCD；(2)求二面角CDFB的余弦值；(3)判断直线AM与平面DCEF是否相交，如果相交，求出A到交点H的距离；如果不相交，求直线AM到平面DCEF的距离．4.【2022·湖南娄底·高三期末】如图，在长方体1111ABCDABCD中，5AB，14BCCC．若平面APSB与棱1DD，1CC分别交于点P，S，且04DPCSaa，Q，R分别为棱1BB，BC上的点，且11BQBR．(1)求证：平面1PBR平面11CDQ；9(2)设平面APSB与平面11CDQ所成锐二面角为，探究：534cos34是否成立？请说明理由．4．【2019·北京·高考真题（理）】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．五、立体几何创新定义例5．（1）如图，对于任一给定的四面体1234AAAA，找出依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，使得1,2,3,4iiAi，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1，2，3，4，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234AAAA的四个顶点满足：1,2,3,4iiAi，求该正四面体1234AAAA的体积．10“新定义”题型解题步骤解题时可以分这样几步：(1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。(2)细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。(3)对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。5.已知111(,,)axyz，222(,,)bxyz，333(,,)cxyz，定义一种运算：123231312132213321()abcxyzxyzxyzxyzxyzxyz，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，(2,1,4)AB，(4,2,0)AD，(1,2,1)AP（1）试计算()ABADAP的绝对值的值，并求证PA面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积，说明()ABADAP的绝对值的值与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()ABADAP的绝对值的几何意义.5.【2021·全国·模拟预测】蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥HABC，JCDE，KEFA，再分别以AC，CE，EA为轴将ACH，CEJ，EAK分别向上翻转180，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．11（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值．9.【2021·全国·高三专题练习】设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为12231111()2kkkQPQQPQQPQQPQ，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，122AA，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）12专题04立体几何立体几何解答题是