数学竟赛培训资料(理工)

数学竟赛培训资料(理工)第六讲曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分.弧微分lzyxsddddd222.注意无方向问题,一般计算程序:画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.1.设c0为常数,L:),,(.tan00022zyxALxyczyxcz上从原点到点求的弧长.解.L的参数方程是:,dd,,sin,cos42zszzczyczxczczczcz弧微分因此所求弧长）（czzczss3200001d.例6.2.计算均匀密度的球面)0(2222aazyx在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.解.边界曲线的三段弧分别有参数方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.曲线周长s=3aπ∕2,及.,dcosdcos340022azyxaaaaxs于是重心坐标(2)第一型曲线积分的对称性用法.例6.3.计算积分I=),()(:,d222222yxayxLlyL其中a0.解.用极坐标,L:2cos)sin(cos2222224arrar.根据对称性得积分I=4)1(4d)]([sin2220224arrr.例6.4.设L是顺时针方向椭圆Lxsyxxylyd)4(,,122242则周长为=.(2001天津赛)解.,44122242yxyx根据对称性得积分=4l.2.第二型(对坐标)曲线积分.CClFzRyQxPdddd注意有方向问题,一般计算方法有:化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.5.设L为正向圆周Lxyyxyxd2d,222则曲线积分在第一象限中的部分=.解.L:.0:,sin2,cos22yx于是有积分=3π∕2.例6.6.设C是从球面22222222bzyxazyx上任一点到球面上任一点的任一光滑曲线(a0,b0),计算积分I=Lzzyyxxr)ddd(3,其中222zyxr.解.rdr=xdx+ydy+zdz,I=)(d55513abrrrba.(2)格林公式的应用(注意条件).当L不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线,(2,0)、(2,0)两点不在L上.试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值:.d][d][22222222)2(2)2(2)2()2(yxIyxxyxxyxyLyxy(1991上海竞赛)解.令A(2,0),B(2,0),L包围的平面区域内部为D,记2121)2()2(2)2(21)2(2)2(1,,,,,,22222222QQQPPPQQPPLDGyxxyxxyxyyxy.则.,22222221222221])2[()2(])2[()2(xQyxyxyPxQyxyxyP(1)A、B均为G的外点,根据格林公式有I=0.(2)A为G的内点,B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C,有I=CCCEDyPxQCCLyQxPyQxPyQxPdddd0ddd)(2211=,dd11CyQxP且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ2π,于是有I=2π.(3)A为G的外点,B为G的内点,同理可得I=2π.(4)A、B均为G的内点,与(2)相仿,在D内分别以A、B为中心作半径r充分小的闭圆盘使它们的并集含于D内,仍用格林公式可得I=4π.(3)积分与路径无关的问题.例6.8.设函数f(x)在(∞,+∞)内具有连续导数,求积分,d]1)([d2)(122yxyfyxCyxyxyfy其中C是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段.(1994北京竞赛)解.积分与路径无关,因此积分为.41d)(d)(3d]1)([d)](1[22221133294233232322yyfuufyyfyxxfy(4)求原函数问题.例6.9.设函数Q(x,y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分yyxQxxyLd),(d2与路径无关,并且对任意的t恒有,d),(d2d),(d2),1()0,0()1,()0,0(ttyyxQxxyyyxQxxy求Q(x,y).(2001天津)解.因积分与路径无关,有),(),(,22)2(yCxyxQxyxyxQ其中C(y)为待定函数.又,d)(d)]([d),(d2102102)1,()0,0(yyCtyyCtyyxQxxytttttyyCtyyCtyyCtyyCyyxQxxy010200),1()0,0(d)(d)(,d)(d)](1[d),(d2对的两边关于t求导得2t=1+C(t),由此推出.12),(2yxyxQ例6.10.确定常数λ,使在右半平面x0上的向量A(x,y)=2xy)()(24224yxxiyxj为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).(1998研)解.令P(x,y)=2xyyPxQyxxyxQyx由,)(),(,)(24224解得λ=1.然后有u(x,y)=.arctand),(d),(2),()0,1(CCyyxQxyxPxyyx(5)曲线积分的证明题.例6.11.设P(x,y),Q(x,y)具有连续的偏导数,且对以任意点00,yx为圆心,以任意正数r为半径的上半圆L:.0d),(d),(),0(sin,cos00LyyxQxyxPryyrxx恒有证明:.0,0),(),(xyxQyxP(2004天津竞赛)证.记上半圆直径为AB,取AB+L为逆时针方向,其包围的区域为D,由格林公式与积分中值定理,)(dd)(22ryxMyPxQDyPxQLABLLABABM∈D,且],,[,2),(d),(000000rxrxryPxyxPrxrxAB于是),(.0),(,0),(lim:0),,(2)(00000020yxyxPyPryPrxMyPxQ由得令的任意性知P(x,y)≡0,且.0,0,0),(00xQyxxQMxQ例6.12.设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分Lyxyxyxy422d2d)(的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有;0422d2d)(Cyxyxyxy(2)求函数φ(y)的表达式.(2005研)解.(1)设C是半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线,在C上任取两点M、N,围绕原点作闭曲线(如图)进行积分即得证明.(2)由(1),在半平面x0内积分与路径无关,得.)(,0,)(,2)(4)(,2)(,22534yyCCyyyyyyyyyyPxQ例6.13.设在上半平面D={(x,y)|y0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t0都有f(tx,ty)=).,(2yxft证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有.0d),(d),(Lyyxxfxyxyf(2006研)证..0),(),(),(2)],([)],([012yxfxyxfyyxfyxxfyxyfxyL又f(tx,ty)=),,(),(),(22yxftytxftyxft对t求导后,令t=1,即可得结果.3.曲线积分的应用题.例6.14.若悬链线axaych上每一点的密度与该点的纵坐标成反比,且在点(0,a)的密度等于b.试求曲线在横坐标0到a的点之间弧段C的质量m.解.由条件知曲线上点(x,y)处的密度为ab∕y,于是m=.dsh1d)(1d02ch102abxabxysaaxaayabCyabax例6.15.质点P在力F作用下从点A(1,2)沿着直径AB的半圆周(见图)运动到B(3,4),F的大小等于点P(x,y)与原点间的距离,方向垂直于线段OP且与y轴正向夹角为锐角.求变力F所作的功W.解.F=yi+xj,令L是所述AB弧:.:,sin23,cos22443yx于是W=.1)-2(dddLLyxxylF4.两类曲线积分的联系.,d)coscoscos(dddsRQPzRyQxPLL其中cosα,cosβ,cosγ为有向曲线L的正向切线的方向余弦.（二）习题6.1.填空题:设当x0时,naCxyyxyxxynayxCI与为有向圆周其中)(2222122)(dd为同阶无穷小,则n=.(2002北京竞赛)6.2.设曲线Г是平面x+y+z=1与球面.d)(,12222syxzyx试求积分的交线6.3.设L是平面区域D:0≤x≤π,0≤y≤π,的正向边界.证明:(1).2dede)2(.dededede2sinsinsinsinsinsinLxyLxyLxyxyyxxyyxxyyx6.4.计算曲线积分I=,224ddLyxxyyx其中L是以点(1,0)为中心,为半径的圆周(R1),取逆时针方向.6.5.求I=,d)cose(d))(sine(Lxxyaxyxyxby其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线22xaxy到点O(0,0)的弧.(1999研)6.6.设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微,在D的边界曲线上u(x,y)=0,并满足yuxu=u(x,y),求u(x,y)的表达式.(2005天津竞赛)6.7.设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且,dcosd),(2),()0,0(2tyyxxyxftt求f(x,y).(2005津)6.8.设f(x)连续可导,f(1)=1,G为不包含原点的单连通域,任取M,N∈G,在G内曲线积分)dd()(212yxxyNMyfx与路径无关,(1)求f(x);(2)求3232322,)dd()(21ayxyxxyyfx为其中,取正向.(2004江苏竞赛)6.9.计算I=,22d)(d)(Lyxyyxxyx其中L是绕原点两周的正向闭路.（三）习题解答或提示6.1.应填:2.6.2.解.利用对称性,因,ddd,ddd222szsxsyszsysx于是积分为.2d)11()]d()[(9643632323122231的长度sszyxzyx6.3.证.(1)左端=,)dee(dede0sinsin0sin0sinxxyxxxy右端=.)dee(dede0sinsin0sin0sinxxyxxxy(2)由(1)及2eesinsinxx推出.6.4.解.，：作充分小椭圆sincos),0,0(),(,2)4(422222yxCyxyxxyyPC取逆时针方向,于是.d,0204dd4dd4dd2221222222CyxxyyxLyxx