高中数学课改教材培训

高中数学课改教材培训必修5北京市高中数学课改培训指导组2009年2月数学(必修5)的内容第1章解三角形第2章数列第3章不等式教材的特色：1.人文性：注重人的情感调动，激发学生的求知欲。2.问题性：学习始于疑问。3.应用性：学习的目的在于应用。4.思想性：利于把握数学的精髓。第1章解三角形正弦定理余弦定理正弦定理、余弦定理的应用（一）知识结构三角形中的边角关系正弦定理余弦定理解三角形解三角形的应用一、对课标和教材的分析（二）地位与作用1．整体定位：(承上启下)延伸、应用、工具、交汇2.中心内容:探究、发现、应用3.主要问题长度、角度、面积整体定位：本章定位主要包括以下四个方面:(1)延伸:初中解直角三角形内容的延伸(2)应用:高中三角函数一般知识和平面向量知识在解三角形中的具体应用(3)工具:是解决可转化为三角形计算问题的其他数学问题(特别是生产、生活实际中的实际测量问题)的重要工具。(4)交汇:中学许多重要数学知识的交汇点。（三）目的与要求1．课标描述：（1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。2．教学指导意见描述：（1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。（四）教学重点与难点：教学重点1.探究与发现：正弦定理与余弦定理的探究与发现;2.设计与运用：依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。教学难点：1.已知“边边角”求解三角形。2.解三角形在实际问题中的应用。二、从对《课标》《大纲》及新旧教材的比较中看课标教材的特点（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较1.从教学内容编排的位置来看：2.从《课标》与《大纲》安排位置与描述方式来看：3.从例题与习题的配备来看：4.从课时安排来看：5.从课标卷的命题情况看：1.从教学内容安排的位置来看：（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较2.从《课标》与《大纲》安排位置与描述方式来看：《课程标准》对这部分知识内容的教学要求相对比较独立：（1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较而《教学大纲》则是将这部分知识的教学要求与三角函数和三角恒等变换安排在一起阐述的：（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较《大纲》（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较3.从例题与习题的配备来看：《大纲》教材只有2个应用例题，这两个例题分别是：例1.自动卸货汽车的车厢液压机构为背景的解斜三角形问题；例2.机械传动的曲轴连杆机构为背景的解斜三角形问题另外，《大纲》教材还安排了2个练习题和4个习题，它们解答过程基本上侧重于三角变换.（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较3.从例题与习题的配备来看：《课标》教材有10个应用例题;9个练习题;10个习题。分别涉及到天文测量、航海测量、地理测量等方面实践活动,包括航海中海上两个岛屿间的距离的测量；海上航行的船只的船速与航向的测量；平面上不可到达的两点间距离的测量;底部不可到达的建筑物的高度的测量；水平飞行的飞机下方山顶的海拔高度的测量；在天文研究中星际距离的测量；角度与面积的测量等生活实际中的实际应用问题。4.从授课学时安排来看：（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较2007广东卷:(16)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c,0）,(1)若c=5，求sin∠A的值。（2）若∠A是钝角，求c的取值范围。2007海南宁夏卷:(17)测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.2007山东卷:(20)甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,已船位于甲船的北偏西105°方向的处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?（二）与大纲教材比较，课标教材的几个突出转变1．内容定位的转变：2．教学思想的转变：3．教学重点的转变：（三）新教材的主要特点1．关注数学情景2．强调数学思想3．丰富数学文化4．重视数学应用5经历探究发现1．关注数学情景2．强调数学思想方程思想转化与化归思想一般与特殊化思想3．丰富数学文化4．重视数学应用距离、高度、角度、几何计算5.经历探究发现以“特殊到一般”的数学发现模式来组织内容（1）教材以“直角Δ—任意Δ”为主线展开（2）充分发挥学生的已有经验在探索正弦定理和余弦定理中的作用三、教学建议（一）重视对学生问题意识、探究意识和推理能力的培养1.知识结论的探究;2.定理证明方法的探究;3.从定性关系到定量关系的探究.问题情境直角三角形锐角三角形钝角三角形应用例题2、已知abA例题1、已知ABa问题已知abA，能否确定三角形？探究与发现《解三角形的进一步讨论》大边对大角——能否将边角关系量化？1.知识结论的探究以“直角Δ—任意Δ”为主线展开探究2.定理证明方法的探究①正弦定理jCBAcbaAbBaACBAjBCjsinsin)(方法二:向量法,)()22ABCBAC（己：若等式两端自己点乘自.cos2222cCababABCBAC射影定理，章后习题）点乘等式两端得：用(,coscoscBaAbAB若AbBaCDsinsin方法一:直角,锐角,钝角DCBAcba方法三:外接圆法方法四:面积法DOCBAARDRasin2sin2CabAbcBacSABCsin21sin21sin212tan2tanBABAbaba正弦定理的常见变形形式：1)2)3)AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsinCRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin2tan2tanBABAbaba知识拓展：正弦定理是由伊朗天文学家阿布尔·威发（940~998）首先发现与证明的。公元十三世纪，阿塞拜疆人那西列金·图西系统地整理了前人有关的三角形知识。他根据实际测量中解斜三角形的需要，证明了正弦定理与正切定理。正切定理：2tan2tanBABAbabaDOCBA②余弦定理方法一：向量法方法二：作高，利用勾股定理方法三：建立直角坐标系方法四：利用正弦定理abc)()(2ababccc222)cos()sin(AbcAba22)0sin()cos(AcbAcBCacbaDCBAyxD(O)AcbaC(b,0)B(ccosA,csinA)bcacbA2cos222acbcaB2cos222bacabC2cos222)sin(2sin2CBRARaAbccbCBbcCBbcBcCbcbBcCBbcCbCBCBCBCBRCBRARacos2coscos2sinsin2)sinsin()sin1(coscos2)sin1()sincossincoscossin2cos(sin4)(sin4sin42222222222222222222余弦定理的变形形式：，，3.从定性关系到定量关系的探究：①从任意三角形中大边对大角、小边对小角的定性关系，到三角形边角关系的的准确量化。②判定三角形全等的定性条件“边角边”、“边边边”，到定量而可计算的公式。（二）重视对学生应用意识与应用能力的培养1、从三个层次把握问题；2、利用图形语言的直观功能；3、重视实际应用问题的解题规范.三、教学建议1、从三个层次把握问题：⑴应用向量知识证明正弦、余弦定理；⑵应用三角函数的性质与三角变换解决三角形问题；⑶应用正弦、余弦定理解决实际测量问题。2、利用图形语言的直观功能：解斜三角形实际应用题的步骤第一步：准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关术语、名称；第二步：根据题意画出图形；第三步：抽象或构造出三角形，标出已知、未知；第四步：将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解、检验、作答。3、重视实际应用问题的解题规范（三）重视数学思想方法的研究与训练1．一般与特殊化思想：直角三角形一般三角形2．分类讨论思想（1）定理的探究与证明（2）三角形的可解性与解的个数的讨论三、教学建议分析一:从“数”的方面当A为钝角或直角时,若ba则无解;若ba则有一解.当A为锐角时,aAbBsinsin.若Abasin,则无解；若Abasin，则有一解;若baAbsin，则有两解；若ba，则有一解。分析二：从“形”的方面当A为直角或钝角时,若则无解;若则有一解.babaabCBAABCbaabCBAabCBAAabsinA无解BbsinAabCAa=bsinA一解ACbabsinABbsinAab两解B2B1bsinAabCAab一解aACbB当.aAbBsinsinAbasinAbasinbaAbsinba当A为锐角时,,则无解；若,则有一解;若,则有两解;若,则有一解。若Abxxbacos2222,0)cos2(222abxAbx),sin(4222Aba分析三利用余弦定理用余弦定理得到的一元二次方程的正根的个数就是三角形解的个数：（3）利用余弦定理对三角形形状的讨论（4）应用问题的分类思考3．转化与化归思想直角三角形222cba锐角三角形222cba钝角三角形222cba（四）引导学生用系统论的观点思考和把握解三角形问题（1）角与角之间的关系：（2）边与边之间的关系：（3）边与角之间的关系：（4）面积和边与角之间的关系：三、教学建议（1）角与角之间的关系：（2）边与边之间的关系：（3）边与角之间的关系：（4）面积和边与角之间的关系：2C2B22A,22C2B2A,CBA,,,acbacbcbacbabcabcabcosC,acosBcccosA,acosCbccosB,bcosCa:2abcosC,bac2accosB,cab2bccosA,cba:2RsinCcsinBbsinA:222222222射影定理余弦定理正弦定理abcsinA,21acsinB21absinC21S:sinAsinBsinCa21S:c)b(a21p,)cp)(bp)(ap(p:2面积与边的关系面积与角的关系面积与边的关系S（五）重视实际应用问题的教学1.营造应用问题氛围；2.发挥学生主体作用；3.注重应用问题类型的归纳和提炼；4.了解实际应用问题中的有关名称、术语。三、教学建议仰角与俯角方向角：教材例6方位角：从指北的方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角。直于水平面的平面内（若干三角形在同一垂高、塔高底部不可以到达：测山底部可以到达：测塔高）测高问题（平平面内）（若干三角形在同一水对岸两点之间的距离二点不可以到达：测河宽一点不可以到达：测河）测距问题（21仰角、倾斜角）的角的测量：（俯角、垂直于水平面的平面内方