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极限的计算、证明(最新4篇)【导读】这篇文档“极限的计算、证明(最新4篇)”由三一刀客最漂亮的网友为您分享整理,希望这篇范文对您有所帮助,喜欢就下载吧!极限的计算、证明1极限的论证计算,其一般方法可归纳如下1、直接用定义等证明极限例、试证明证:要使,只须,故,,有2、适当放大,然后用定义或定理求极限或证明极限an,例、证明:证:已知是一个常数正整数k,使得,,当时,有3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限例、求解:两边开2n次方:由两边夹:4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问题例、设,为常数,求证:pp证:,得记,其中再记pp,其中则有。若取定自然数,则当时KKpKpppK由两边夹得证。5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易求极限例、求极限解:nn6、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限limx1K,其中K是自然数解:令当时,有,所以利用复合函数求极限法则可得lim1K1Kx1Kyy1K7、进行恒等变形化成已知极限进行计算例、lim8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限limx2解:~12x2,~xx9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn,,证明:xn存在,并求此极限。证明:,nn且,xn存在令,有l2,,10、利用海涅定理解决极限问题例、试证明函数当时极限不存在证:取,而,,得证11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim1Kx,其中K是自然数1解:limx12、利用洛必达法则求极限例、解:令tgx所以13、把求极限的表达式化为积分和的形式,用定积分进行计算例、设2n,求解:S111,lim14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题例、求limxn解:由第一积分中值定理xn1n0,所以limxn15、利用收敛级数的必要条件求极限例、求xn解:已知指数函数的幂级数展开式xxn对于一切收敛而收敛级数的一般项趋于0,故得limxn16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限例、解:2x2原式1、利用柯西收敛准则处理极限问题例、用Cauchy收敛准则证明证:取任取有1135无极限1nn1故由Cauchy收敛准则知为发散数列.极限定义证明3极限定义证明趋近于正无穷,根号x分之sinx等于0x趋近于负1/2,2x加1分之1减4x的平方等于2这两个用函数极限定义怎么证明?x趋近于正无穷,根号x分之sinx等于0证明:对于任意给定的ξ0,要使不等式|sinx/√x-0|=|sinx/√x||sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,∵|sinx|≤1∴只需不等式x1/ξ^2成立,所以取X=1/ξ^2,当xX时,必有|sinx/√x-0|同函数极限的定义可得x→+∞时,sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2,2x加1分之1减4x的平方等于2证明:对于任意给定的ξ0,要使不等式|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|需要0|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|由函数极限的定义可得x→-1/2时,1-4x^2/2x+1的极限为2.注意,用定义证明X走近于某一常数时的极限时,关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.记g(x)=lim^(1/n),n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1;那么存在N1,当xN1,有a/M注意到f2的极限小于等于a,那么存在N2,当xN2时,0同理,存在Ni,当xNi时,0取N=max{N1,N2...Nm};那么当xN,有(a/M)^n所以a/M对n取极限,所以a/M令x趋于正无穷,a/M注意这个式子对任意M1,ba都成立,中间两个极限都是固定的数。令M趋于正无穷,b趋于a;有a这表明limg(x)=a;证毕;证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。还有个看起来简单些的方法记g(x)=lim^(1/n),n趋于正无穷;g(x)=max{f1(x),....fm(x)};然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。其实这个看起来显然,但对于求极限能放到括号里面,但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。有种简单点的方法,就是max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。多个求max相当于先对f1,f2求max,再对结果和f3求,然后继续,从而为有限次代数运算式,故极限可以放进去。2一)时函数的极限:以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限:由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义:单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点:函数极限的性质及其计算。教学难点:函数极限性质证明及其应用。教学方法:讲练结合。一、组织教学:我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课:(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限:(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7用极限定义证明极限[材料]4例1、用数列极限定义证明:时2上面的系列式子要想成立,需要第一个等号和不等号(1)、(2)、(3)均成立方可。第一个等号成立的条件是n2;不等号(1)成立的条件是2n4,即n2;不等号(4)成立的条件是,故取N=max{7,44[]}。这样当nN时,有n7,。4因为n7,所以等号第一个等号、不等式(1)、(2)、(3)能成立;因为,所以不等号(3)成立的条件是|不等式(4)能成立,因此当nN时,上述系列不等式均成立,亦即当nN时,在这个例题中,大量使用了把一个数字放大为n或。的方法,因此,对于具体的数,.......2可把它放大为(k为大于零的常数)的形式......kn...............时22不等号(1)成立的条件是故取N=max{4,[]},则当nN时,上面的不等式都成例2、用数列极限定义证明:lim立。注:对于一个由若干项组成的代数式,可放大或缩小为这个代数式的一部分。如:................................例3、已知,证明数列an的极限是零。证明:设,欲使成立解得:,由于上述式子中的等式和不等号(1)对于任意的正整1数n都是成立的,因此取,则当nN时,不等号(2)成立,进而上述系列等式由不等式和不等式均成立,所以当nN时,。在上面的证明中,设定,而数列极限定义中的是任意的,为什么要这样设定?这样设定是否符合数列极限的定义?在数列极限定义中,N是一个正整数,此题如若不设定,则就有1可能不是正整数,例如若=2,则此时N=-1,故为了符合数列极限的定义,先设定,这样就能保证N是正整数了。那么对于大于1的,是否能找到对应的N?能找到。按照上面已经证明的结论,当=0.5时,有对应的N1,当nN1时,<0.5成立。因此,当n>N1时,对于任意的大于1的,下列式子成立:<0.5<1<,亦即对于所有大于1的,我们都能找到与它相对应的N=N1。因此,在数列极限证明中,可限小。只要对于较小的能找到对应的N,则对于较大的...就自然能找到对应的N。中心极限定理证明5中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互
本文标题:极限的计算、证明(最新4篇)
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