新教材20202021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业本册综合检测题Word版含解析

本册综合检测题考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i是虚数单位，复数z1在复平面内对应的向量OZ1→＝(－2,1)，则复数z＝z11＋i的虚部为(D)A．－12B．－32C．12D．32[解析]由题意可知z1＝－2＋i，所以z＝z11＋i＝－2＋i1－i1＋i1－i＝－1＋3i2＝－12＋32i，因此，复数z的虚部为32.2．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为(A)A．0,1.1B．0,1C．4,1D．0.5,2[解析]由表可知，次品数的众数为0，平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是(A)A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m[解析]对于A，若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.故选A．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝acosB＋bcosA，则△ABC是(A)A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]因为a＝acosB＋bcosA，所以由余弦定理可得a＝a×a2＋c2－b22ac＋b×b2＋c2－a22bc，整理得a＝c，所以△ABC为等腰三角形.5．已知平面向量a与b的夹角为2π3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝(B)A．3B．3C．7D．7[解析]因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|cos2π3＋|b|2＝1＋2×1×2×－12＋4＝3，所以|a＋b|＝3.6．一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常工作的称为系统的可靠性，今设所用元件的可靠性都为r(0r1)，且各元件能否正常工作是相互独立的，如图所示的系统的可靠性为(C)A．r2B．2r－r2C．2r2－r4D．r4－4r3＋4r2[解析]设Ai(i＝1,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事件，S表示“系统能正常工作”，得P(S)＝P(A1A2∪A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(A3)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝r2＋r2－r4＝2r2－r4，故选C．7．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则(C)A．AP→＝23AB→＋12AD→B．AP→＝12AB→＋23AD→C．AD→＝32AP→－AB→D．AD→＝23AP→－AB→[解析]因为BC→＝－AB→＋AD→＋DC→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝AD→－12AB→，BP→＝23BC→＝23AD→－13AB→，所以AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋23AD→－13AB→＝23AB→＋23AD→，所以AD→＝32AP→－AB→.8．(2020·全国Ⅱ卷理)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(C)A．3B．32C．1D．32[解析]设球O的半径为R，则4πR2＝16π，解得：R＝2．设△ABC外接圆半径为r，边长为a，∵△ABC是面积为934的等边三角形，∴12a2×32＝934，解得a＝3，∴r＝23×a2－a24＝23×9－94＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝R2－r2＝4－3＝1．故选C．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知i为虚数单位，复数z＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是(CD)A．z的共轭复数为75－45iB．z的虚部为85C．|z|＝655D．z在复平面内对应的点在第一象限[解析]∵z＝3＋2i2－i＝3＋2i2＋i2－i2＋i＝45＋75i，∴z的共轭复数为45－75i，z的虚部为75，|z|＝452＋752＝655，z在复平面内对应的点为45，75，在第一象限，故选CD．10．下列说法错误的是(ABC)A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1B．若事件A与事件B满足条件P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是对立事件C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件[解析]对立事件概率和为1，互斥事件概率和不一定为1，故A错误；满足概率和为1的两个事件不一定是对立事件，比如抛掷骰子一枚向上点数小于4与向上点数为奇数，其概率和为1，但这两个事件不是对立事件，故B错误；“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”都包含“一次中靶一次未中靶”，故不是对立事件，故错误；“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，故是互斥事件，故正确.11．如图是2019年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是(BCD)A．2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个B．与去年同期相比，2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C．去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省D．2018年同期A省的GDP总量也是第三位[解析]2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故A错误；由图知B正确；由图计算2018年同期五省的GDP总量，可知前三位为D省、B省、A省，故C正确；由C知2018年同期A省的GDP总量是第三位，故D正确.故选BCD．12．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是(ABC)A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱锥A1－DMN的体积为定值D．△DMN可能为直角三角形[解析]用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N－A1DM的体积不变，即三棱锥A1－DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为2，则DO＝3，MN＝23.因为MN的最大值为BC1，BC1＝22，所以MN不可能为23，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误.故选ABC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，若a∥b，则实数t的值是__－4__.[解析]因为a∥b，所以t－(－2)×2＝0，解得t＝－4．14．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为__35192__.[解析]由题意可知，汽车在这三处都不停车的概率为2560×3560×4560＝35192.15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于__60°__.[解析]如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角.因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝2，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°.16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图).由图中数据可知a＝__0.030__.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为__3__.[解析]∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则x100＝0.030×10，解得x＝30．同理，y＝20，z＝10．故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3．四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1).(1)求AB→·AC→及|AB→＋AC→|；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)⊥OC→，求t的值.[解析](1)∵AB→＝(－3，－1)，AC→＝(1，－5)，∴AB→·AC→＝(－3)×1＋(－1)×(－5)＝2．∵AB→＋AC→＝(－2，－6)，∴|AB→＋AC→|＝4＋36＝210.(2)∵AB→－tOC→＝(－3－2t，－1＋t)，OC→＝(2，－1)，且(AB→－tOC→)⊥OC→，∴(AB→－tOC→)·OC→＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)×(－1)＝0，∴t＝－1．18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD＝DC＝12AB，PA⊥平面ABCD.(1)求证：平面PBD⊥平面PAD；(2)若PA＝AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.[解析](1)证明：取AB的中点E，连接CE，则由题意知，△BCE为正三角形，所以∠ABC＝60°.由四边形ABCD为等腰梯形知∠BCD＝120°，设AD＝DC＝BC＝2，则AB＝4，BD＝23，故AD2＋BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，所以AD⊥BD.又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又AD∩PA＝A，所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD.(2)在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，由(1)知BD⊥平面PAD，所以CH⊥平面PAD，连接PH，则∠CPH即为所求的角.根据(1)中所设，在Rt△CHD中，CD＝2，∠CDH＝60°，所以CH＝3，连接AC，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝42＋232＝27.所以在Rt△PHC中，sin∠CPH＝CHPC＝327＝2114，即PC与平面PAD所成角的正弦值为2114.19．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝185sinBsinC，b和c是关于x的方程x2－9x＋25cosA＝0的两根(bc).(1)求cosA的值；(2)判断△ABC的形状.[解析](1)由正弦定理得(b＋c＋a)(b＋c－a)＝185bc，即b2＋c2－a2＝85bc，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝45.(2)由(1)知cosA＝45，则方程x2－9x＋25cosA＝0可化为x2－9x＋20＝0，