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本册综合检测题考试时间120分钟,满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,复数z1在复平面内对应的向量OZ1→=(-2,1),则复数z=z11+i的虚部为(D)A.-12B.-32C.12D.32[解析]由题意可知z1=-2+i,所以z=z11+i=-2+i1-i1+i1-i=-1+3i2=-12+32i,因此,复数z的虚部为32.2.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表:次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的众数、平均数依次为(A)A.0,1.1B.0,1C.4,1D.0.5,2[解析]由表可知,次品数的众数为0,平均数为0×0.5+1×0.2+2×0.05+3×0.2+4×0.05=1.1.3.已知l,m表示两条不同的直线,α表示平面,则下列说法正确的是(A)A.若l⊥α,m⊂α,则l⊥mB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αC.若l∥m,m⊂α,则l∥αD.若l∥α,m⊂α,则l∥m[解析]对于A,若l⊥α,m⊂α,则根据直线与平面垂直的性质,知l⊥m,故A正确;对于B,若l⊥m,m⊂α,则l可能在α内,故B不正确;对于C,若l∥m,m⊂α,则l∥α或l⊂α,故C不正确;对于D,若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行,也可能异面,故D不正确.故选A.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=acosB+bcosA,则△ABC是(A)A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形[解析]因为a=acosB+bcosA,所以由余弦定理可得a=a×a2+c2-b22ac+b×b2+c2-a22bc,整理得a=c,所以△ABC为等腰三角形.5.已知平面向量a与b的夹角为2π3,且|a|=1,|b|=2,则|a+b|=(B)A.3B.3C.7D.7[解析]因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a|·|b|cos2π3+|b|2=1+2×1×2×-12+4=3,所以|a+b|=3.6.一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性,由多个元件组成的系统能正常工作的称为系统的可靠性,今设所用元件的可靠性都为r(0r1),且各元件能否正常工作是相互独立的,如图所示的系统的可靠性为(C)A.r2B.2r-r2C.2r2-r4D.r4-4r3+4r2[解析]设Ai(i=1,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事件,S表示“系统能正常工作”,得P(S)=P(A1A2∪A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=r2+r2-r4=2r2-r4,故选C.7.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2DC,点P在线段BC上,且BP=2PC,则(C)A.AP→=23AB→+12AD→B.AP→=12AB→+23AD→C.AD→=32AP→-AB→D.AD→=23AP→-AB→[解析]因为BC→=-AB→+AD→+DC→=-AB→+AD→+12AB→=AD→-12AB→,BP→=23BC→=23AD→-13AB→,所以AP→=AB→+BP→=AB→+23AD→-13AB→=23AB→+23AD→,所以AD→=32AP→-AB→.8.(2020·全国Ⅱ卷理)已知△ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为(C)A.3B.32C.1D.32[解析]设球O的半径为R,则4πR2=16π,解得:R=2.设△ABC外接圆半径为r,边长为a,∵△ABC是面积为934的等边三角形,∴12a2×32=934,解得a=3,∴r=23×a2-a24=23×9-94=3,∴球心O到平面ABC的距离d=R2-r2=4-3=1.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.已知i为虚数单位,复数z=3+2i2-i,则以下为真命题的是(CD)A.z的共轭复数为75-45iB.z的虚部为85C.|z|=655D.z在复平面内对应的点在第一象限[解析]∵z=3+2i2-i=3+2i2+i2-i2+i=45+75i,∴z的共轭复数为45-75i,z的虚部为75,|z|=452+752=655,z在复平面内对应的点为45,75,在第一象限,故选CD.10.下列说法错误的是(ABC)A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1B.若事件A与事件B满足条件P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件C.一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件[解析]对立事件概率和为1,互斥事件概率和不一定为1,故A错误;满足概率和为1的两个事件不一定是对立事件,比如抛掷骰子一枚向上点数小于4与向上点数为奇数,其概率和为1,但这两个事件不是对立事件,故B错误;“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”都包含“一次中靶一次未中靶”,故不是对立事件,故错误;“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生,故是互斥事件,故正确.11.如图是2019年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是(BCD)A.2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个B.与去年同期相比,2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长C.去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省D.2018年同期A省的GDP总量也是第三位[解析]2019年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个,B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位,故A错误;由图知B正确;由图计算2018年同期五省的GDP总量,可知前三位为D省、B省、A省,故C正确;由C知2018年同期A省的GDP总量是第三位,故D正确.故选BCD.12.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中正确的是(ABC)A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱锥A1-DMN的体积为定值D.△DMN可能为直角三角形[解析]用平行于平面ABC的平面截平面DMN,则交线平行于平面ABC,故A正确;当M,N分别在BB1,CC1上运动时,若满足BM=C1N,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1,故B正确;当M,N分别在BB1,CC1上运动时,△A1DM的面积不变,点N到平面A1DM的距离不变,所以三棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故C正确;若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,易证DM=DN,所以△DMN为等腰直角三角形,所以DO=OM=ON,即MN=2DO.设正三棱柱的棱长为2,则DO=3,MN=23.因为MN的最大值为BC1,BC1=22,所以MN不可能为23,所以△DMN不可能为直角三角形,故D错误.故选ABC.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(1,2),b=(-2,t),若a∥b,则实数t的值是__-4__.[解析]因为a∥b,所以t-(-2)×2=0,解得t=-4.14.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35秒,45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为__35192__.[解析]由题意可知,汽车在这三处都不停车的概率为2560×3560×4560=35192.15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,BB1=1,P是AB的中点,则异面直线BC1与PD所成的角等于__60°__.[解析]如图,取A1B1的中点E,连接D1E,AD1,AE,则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角.因为AB=2,所以A1E=1,又BC=BB1=1,所以D1E=AD1=AE=2,所以△AD1E为正三角形,所以∠AD1E=60°.16.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图).由图中数据可知a=__0.030__.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为__3__.[解析]∵0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,∴a=0.030.设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生分别有x,y,z人,则x100=0.030×10,解得x=30.同理,y=20,z=10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030+20+10×18=3.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).(1)求AB→·AC→及|AB→+AC→|;(2)设实数t满足(AB→-tOC→)⊥OC→,求t的值.[解析](1)∵AB→=(-3,-1),AC→=(1,-5),∴AB→·AC→=(-3)×1+(-1)×(-5)=2.∵AB→+AC→=(-2,-6),∴|AB→+AC→|=4+36=210.(2)∵AB→-tOC→=(-3-2t,-1+t),OC→=(2,-1),且(AB→-tOC→)⊥OC→,∴(AB→-tOC→)·OC→=0,∴(-3-2t)×2+(-1+t)×(-1)=0,∴t=-1.18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为等腰梯形,且满足AB∥CD,AD=DC=12AB,PA⊥平面ABCD.(1)求证:平面PBD⊥平面PAD;(2)若PA=AB,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.[解析](1)证明:取AB的中点E,连接CE,则由题意知,△BCE为正三角形,所以∠ABC=60°.由四边形ABCD为等腰梯形知∠BCD=120°,设AD=DC=BC=2,则AB=4,BD=23,故AD2+BD2=AB2,即得∠ADB=90°,所以AD⊥BD.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.又AD∩PA=A,所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAD.(2)在平面ABCD中,过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H,由(1)知BD⊥平面PAD,所以CH⊥平面PAD,连接PH,则∠CPH即为所求的角.根据(1)中所设,在Rt△CHD中,CD=2,∠CDH=60°,所以CH=3,连接AC,在Rt△PAC中,PC=PA2+AC2=42+232=27.所以在Rt△PHC中,sin∠CPH=CHPC=327=2114,即PC与平面PAD所成角的正弦值为2114.19.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=185sinBsinC,b和c是关于x的方程x2-9x+25cosA=0的两根(bc).(1)求cosA的值;(2)判断△ABC的形状.[解析](1)由正弦定理得(b+c+a)(b+c-a)=185bc,即b2+c2-a2=85bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=45.(2)由(1)知cosA=45,则方程x2-9x+25cosA=0可化为x2-9x+20=0,
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