X年高一数学竞赛选拔赛试题

2008年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级姓名得分一、选择题（每小题只有一个正确选项）1．化简23215215得（）(A)215(B)215(C)5(D)352．已知集合221,,20RAyyxxBxxx，则下列正确的是（）(A)1,AByy(B)2AByy(C)21AByy(D)21AByyy或3．当01x时，()lgxfxx，则下列大小关系正确的是（）(A)22()()()fxfxfx(B)22()()()fxfxfx(C)22()()()fxfxfx(D)22()()()fxfxfx4．设圆C的方程为222220xyxy，直线l的方程为(1)10mxmy(mR)，圆C被直线l截得的弦长等于()(A)4(B)22(C)2(D)与m有关5．函数22()sin()sin()44fxxx是()(A)周期为的偶函数(B)周期为的奇函数(C)周期为2的偶函数(D)周期为2的奇函数6．设函数()fx的定义域为(,)(,)aa，()0fx的解集为M，()0fx的解集为N，则下列结论正确的是（）(A)RMCN(B)RRCMCN(C)MNR(D)RRCMCNR7．已知,,abc为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc．(1)若a与b是异面直线，则c至少与a、b中的一条相交；(2)若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；(3)若a∥b，则必有a∥c；(4)若ab，ac，则必有MN．其中正确的命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)38．函数2()log(321)afxaxxa对于任意的(0,1]x恒有意义，则实数a的取值范围是()(A)0a且1a(B)12a且1a(C)12a且1a(D)1a二、填空题9．已知521x，则15323xxx．10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为s，最小值为t，则ts的值为．11．已知全集U=RyRxyx,),(，集合M=2),(yxyx，集合N=111),(xyyx，则集合)(NMCU=．12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生．13．代数式9)12(422xx的最小值为．14．设5cmcmcm34长方体的一个表面展开图的周长为pcm，则p的最小值是．15．定义在R上的函数()fx满足：11()()222fxfx，则127()()()888fff16．已知函数22cos30()0xxxfxex，若(2)()2ffa，则实数a组成的集合的元素个数为.17．已知关于x的方程222(2)0xpxq（,pqR）无实根，则pq的取值范围是.18．关于x的不等式221xxa的解集为A，集合13Bxx，若AB，则实数a的取值范围是.三．解答题（解答应有必要文字说明和演算步骤）19．圆O的方程是222(0)xyrr，点P是圆O上一个动点，点Q是P关于点(0,2)A的对称点，点P绕圆心O按逆时针方向旋转2后所得的点为R，求当点P在圆O上移动时，点Q、R之间距离的最大值和最小值．20．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01).AEAFACAD（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？21．设函数()fx的定义域是(0,)，且对任意yR都有()()yfxyfx．若对常数(0,1)m，()0fm，判断()fx在(0,)上的单调性；FEDBAC22.已知定义域为[0,1]的函数()fx同时满足以下三个条件：[1]对任意的[0,1]x，总有()0fx；[2](1)1f；[3]若10x，20x，且121xx，则有1212()()()fxxfxfx成立，并且称()fx为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知()fx为“友谊函数”，求(0)f的值；(2)函数()21xgx在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知()fx为“友谊函数”，假定存在0[0,1]x，使得0()[0,1]fx且00[()]ffxx，求证：00()fxx.参考答案一、选择题：AACABDCB二、填空题9．0．52x得0145)2(22xxx而0)14()1(153223xxxxxx10．610611．)1,1(12．设甲、已、丙三个组的人数分别为zyx,,．则有233212017zyx，故233=zyxzyx17171721201717121317233zyx，同理zyx2121212332121121233zyx，zyx,,均为整数，则12zyx或13zyx，检验的12zyx方可．13．数型结合得20514．长方体的展开图的周长为abc248，由排序或观察得：周长的最小值为50524438．15．716．517.(-2,2)18.(,10)三、解答题19．解：设(,)Pxy，(,)Rxy，XOP，设圆的参数方程为cossinxryr，则xyyx，点Q是关于点(0,2)A的对称点，4Qxy（，）．22||282sin()164QRrr，1sin()41，当sin()4=1时，QR有最大值2(22)r|；当sin()41时，|QR|有最小值2|22|r．20．证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又),10(ADAFACAE∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴,660tan2,2ABBD,722BCABAC由AB2=AE·AC得,76,76ACAEAE故当76时，平面BEF⊥平面ACD.21．解：(1)对任意120xx，由(0,1)m，存在,st使得12,stxmxm且st，12()()()()fxfxstfm又0,()0stfm，12()()0fxfx，()fx在(0,)上是增函数．22.解：（1）取120xx得(0)(0)(0)(0)0ffff，又由(0)0f，得(0)0f（2）显然()21xgx在[0,1]上满足[1]()0gx；[2](1)1g.若10x，20x，且121xx，则有1212()[()()]gxxgxgx12122121[(21)(21)](21)(21)0xxxxxx故()21xgx满足条件[1]、[2]、[3]，所以()21xgx为友谊函数.(3)由[3]知任给21,[0,1]xx其中21xx，且有211xx，不妨设21(0)xxxx则必有：01)x所以：211111()()()()()()()()0fxfxfxxfxfxfxfxfx所以：21()()fxfx.依题意必有00()fxx,下面用反证法证明：假设00()fxx，则有00()xfx或00()xfx(1)若00()xfx，则000()[()]fxffxx，这与00()xfx矛盾；(2)若00()xfx，则000()[()]fxffxx，这与00()xfx矛盾；故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有00()fxx，证毕.