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2019年中考数学真题分类训练——专题八:二次函数一、选择题1.(2019山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为A.y=26675x2B.y=-26675x2C.y=131350x2D.y=-131350x2【答案】B2.(2019舟山)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时,有如下结论:①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上;②存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22m,则y1y2;④当–1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m≥2.其中错误结论的序号是A.①B.②C.③D.④【答案】C3.(2019杭州)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N或M=N+1D.M=N或M=N-1【答案】C4.(2019温州)已知二次函数y=x2﹣4x+2,关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的是A.有最大值﹣1,有最小值﹣2B.有最大值0,有最小值﹣1C.有最大值7,有最小值﹣1D.有最大值7,有最小值﹣2【答案】D5.(2019天津)二次函数2yaxbxc(,,abc是常数,0a)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:且当12x时,与其对应的函数值0y.有下列结论:①0abc;②2和3是关于x的方程2axbxct的两个根;③0m203n.其中,正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C6.(2019衢州)二次函数y=(x﹣1)2+3图象的顶点坐标是A.(1,3)B.(1,﹣3)C.(﹣1,3)D.(﹣1,﹣3)【答案】A7.(2019临沂)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度30mh时,1.5st.其中正确的是A.①④B.①②C.②③④D.②③【答案】D8.(2019湖州)已知a,b是非零实数,|a||b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是A.B.C.D.【答案】D9.(2019遂宁)二次函数2yxaxb的图象如图所示,对称轴为直线2x,下列结论不正确的是A.4aB.当4b时,顶点的坐标为(2,8)C.当1x时,5bD.当3x时,y随x的增大而增大【答案】C10.(2019绍兴)在平面直角坐标系中,抛物线(5)(3)yxx经过变换后得到抛物线(3)(5)yxx,则这个变换可以是A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B11.(2019济宁)将抛物线265yxx向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是A.2(4)6yxB.2(1)3yxC.2(2)2yxD.2(4)2yx【答案】D12.(2019福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(2,y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y2y3y1【答案】D13.(2019兰州)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12【答案】A14.(2019河南)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为A.-2B.-4C.2D.4【答案】B二、填空题15.(2019广安)在某市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为21251233yxx,由此可知该生此次实心球训练的成绩为__________米.【答案】1016.(2019济宁)如图,抛物线2yaxc与直线ymxn交于A(-1,P),B(3,q)两点,则不等式2axmxcn的解集是__________.【答案】3x或1x17.(2019凉山州)当03x时,直线ya与抛物线2(1)3yx有交点,则a的取值范围是_________.【答案】31a18.(2019安徽)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是__________.【答案】a1或a-119.(2019哈尔滨)二次函数y=-(x-6)2+8的最大值是__________.【答案】8三、解答题20.(2019凉山州)已知二次函数2yxxa的图象与x轴交于12(0)(0)AxBx,、,两点,且2212111xx,求a的值.解:2yxxa=的图象与x轴交于12(0)(0)AxBx,、,两点,∴12121xxxxa,,∵222121212222222121212211121xxxxxxaxxxxaxx,∴12a或12a.21.(2019湖州)已知抛物线224yxxc与x轴有两个不同的交点.(1)求c的取值范围;(2)若抛物线224yxxc经过点2,Am和点3,Bn,试比较m与n的大小,并说明理由.解:(1)22448168baccc,由题意,得240bac,∴1680c,∴c的取值范围是2c.(2)mn,理由如下:∵抛物线的对称轴为直线1x,又∵20a,∴当1x时,y随x的增大而增大,∵23,∴mn.22.(2019威海)在画二次函数20yaxbxca的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数20yaxbxca的表达式;(2)对于二次函数20yaxbxca,当x__________时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程20axbxcka有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:(1)由甲同学的错误可知c=3,由甲同学提供的数据,当x=-1时,y=6;当x=1时,y=2,有6323abab,∴12ab,∴a=1,由甲同学给的数据a=1,c=3是正确的;由乙同学提供的数据,可知c=-1,当x=-1时,y=-2;当x=1时,y=2,有2121abab,∴12ab,∴a=1,b=2,∴y=x2+2x+3.(2)y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,∴抛物线开口向上,∴当x≥-1时,y的值随x的值增大而增大.故答案为:≥-1.(3)方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4(3-k)0,∴k2.23.(2019宿迁)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式;(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?解:(1)根据题意得,1502yx.(2)根据题意得,140(50)22502xx,解得:150x,210x,∵每件利润不能超过60元,∴10x,答:当x为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.(3)根据题意得,21140(50)30200022wxxxx213024502x,∵102a,∴当30x时,w随x的增大而增大,∴当20x=时,2400w增大,答:当x为20时w最大,最大值是2400元.24.(2019潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了20%.(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)解:(1)由题意,设这种水果今年每千克的平均批发价是x元,则去年的批发价为1x元,今年的批发销售总额为10120%12万元,∴12000010000010001xx,整理得2191200xx,解得24x或5x(不合题意,舍去),故这种水果今年每千克的平均批发价是24元.(2)设每千克的平均售价为m元,依题意由(1)知平均批发价为24元,则有4124(180300)3mwm260420066240mm,整理得260357260wm,∵600a,∴抛物线开口向下,∴当35m元时,w取最大值,即每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元.25.(2019南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加一支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售,笔记本一律按原价销售,学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等学生多少人时,购买奖品金额最少,最少为多少元?解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x、y元,根据题意可得23384570xyxy,解得:106xy.答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元.(2)设钢笔单价为a元,购买数量为b支,支付钢笔和笔记本总金额为W元,①当30≤b≤50时,100.1(30)0.113abb,w=b(-0.1b+13)+6(100-b)20.17600bb20.1(35)722.5b,∵当30b时,W=720,当b=50时,W=700,∴当30≤b≤50时,700≤W≤722.5.②当50<b≤60时,a=8,86(100)2600Wbbb,∵700720W,∴当30≤b≤60时,W的最小值为700元,∴当一等奖人数为50时花费最少,最少为700元.26.(2019梧州)我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售
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