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第三章时间序列平滑预测法时间序列时间序列：按照一定的时间顺序对现象进行观测并记录下来的数据称为时间序列。时间序列平滑预测法主要用于研究事物的自身发展规律，借以预测事物的未来发展规律。预测依据的基本假定：经济变量过去的发展变化规律，在未发生质变的情况下，可以被延伸到未来的时期。本章主要介绍的预测法：移动平均法、指数平滑法、自适应过滤法。时间序列的分解对于一个长期的时间序列，一般影响其变动因素分为四种主要类型：长期趋势、季节变动、循环变动和随机变动。–长期趋势（T）:长期趋势是指时间序列在较长时期内，受某种固定因素的影响，所呈现的总趋势，是经济现象的本质在数量方面的反映，是我们对时间序列进行分析和预测的重点。时间序列的分解（续）–季节变动（S）：季节变动是指时间序列受季节更替规律或节假日的影响而呈现的周期性变动。–按照日、周、月、季记录的时间序列常常反映季节的波动。–季节变动的周期比较稳定，有固定规律可循，周期效应可以预见。时间序列的分解（续）–循环变动（C）：循环变动是一种变化非常缓慢，需要经过数年或数十年才能显现出来的循环现象。通常周期至少在一年以上。–循环变动类似于周期变动，但其规律性不明显，无固定周期，出现一次循环变动之后，下次何时出现，周期多长难以预见，因而周期效应难以预测。–分析循环变动因素的影响，需要取得长期的样本数据加以分析，以获得循环变动的信息，在短期内，循环变动显现不出来，所以在短期预测中可以不考虑循环变动的影响。时间序列的分解（续）–随机变动（I）：随机变动是指时间序列由于突发事件或各种偶然因素引起的无规律可循的变动。–随机变动由许多无法确切解释的因素引起，可能对经济发展的影响较大，但却不能以趋势、季节或循环变动加以解释，也难以预测。时间序列的分析模型时间序列分析模型即是对时间序列各构成部分是如何结合及相互作用作出假设。通常有两种假设：加法模式、乘法模式–加法模式：假设各构成部分对时间序列的影响是可加的。Y=T+S+C+I•一般情况，若时间序列的季节变动、循环变动和随机变动的幅度不随长期趋势的增衰而变化，应该采用加法模式。时间序列的分析模型（续）–乘法模式：假设各个构成部分对序列的一影响均按比例变化。Y=T.S.C.I•一般情况，若时间序列的季节变动、循环变动和随机变动的幅度随长期趋势的增衰而变化，应该采用乘法模式。•乘法模式中，T的度量单位和Y相同，而C,S,I均以百分比表示。时间序列的分析模型（续）在实际进行时间序列分析和预测时，四个分量不一定同时存在。但是一定不能没有T分量，因为任何模式都是以长期趋势T为其主干。时间序列数据的类型1、水平趋势型2、线性趋势型3、二次曲线趋势型4、水平趋势季节型5、线性趋势季节型6、曲线趋势季节型数学曲线拟合简介对一个多年的数据序列，为了算出逐年的趋势值，可以考虑对原始数据拟合一条数学曲线。–如果趋势是线性的，可用最小平方法拟合直线方程。–如果趋势是指数曲线型的，则可以考虑拟合指数曲线方程。数学曲线拟合简介（续）用数学曲线拟合法测定趋势，首先需要解决的问题就是曲线方程的选择。–1、在以时间t为横轴，变量Y为纵轴的遏制教坐标系上作出时间序列数值的散点图，根据散点的分布形状来确定拟合的曲线方程。–2、对时间序列的数值做一些分析，根据分析的结果来确定应选择的曲线方程。直线趋势的拟合简介依据线性函数的特征：如果一个多年的数据序列，其相邻的两年数据的一阶差近似为一个常数，就可以配合一条直线：应用最小平方法就可求出参数a,b。bbtatbaYYYttt)1(1btaYt直线趋势的拟合简介（续）例：试对下列资料配合趋势曲线。某企业1988-1994年某产品销售量分析数据资料考虑配合直线方程：年份1988198919901991199219931994销售量（万件）12.413.815.717.619.020.822.7btaY直线趋势的拟合简介（续）–依据表格可计算得到：–t=28,t2=140,Y=122.0,tY=536.2–则：–得直线方程：Y=10.55+1.72t72.12814070.122282.5367222ttnYttYnb55.1072872.170.122tbYa直线趋势的拟合简介（续）预测1998年该产品的销售量Y=10.55+1.72*11=29.47(万件)实际应用时，数据应当更丰富些方能反映出长期的趋势，一般应用20年或更多的数据为好。移动平均法移动平均法通过对原始数据进行修匀来测定长期趋势。当数据由于受到周期变动和随机变动的影响，起伏较大，不以显示出发展趋势是，可用移动平均法消除这些因素的影响，显露出时间序列的长期趋势。移动平均法包括：一次移动平均、二次移动平均、加权移动平均。一次移动平均法一次移动平均法：取时间序列的N个观测值，予以平均，并依次滑动，直至将数据处理完毕，得到一个平均值序列。–设时间序列为y1,y2,…,yt,…,yn;其中n为样本容量。–一次移动平均计算公式为：)(...11)1(NtNyyyMNtttt一次移动平均法(续)–其中：N为移动的步长一般情况下，如果时间序列没有明显的周期变化和趋势变化。可用第t期的一次移动平均值作为第t+1期的预测值。–根据以上描述可使用递推公式简化运算。期的一次移动平均值为第t)1(tM)1(1ˆttMy一次移动平均法(续)–计算t期的一次移动均值递推公式：–与上式相对应，预测方程的递推公式为：NyyMMNtttt)1(1)1(NyyyyNttttˆˆ1一次移动平均法(续)–见教材P39页例3-1–如何确定N值的大小？•以均方误差较小的值为准。–一次移动平均法的预测能力只有一期。加权移动平均法加权移动平均法：在一次移动平均法的基础上，各数据加上权重，给近期数据以较大的权数，给远期数据以较小的权数。加权移动平均法的计算公式：)(......211121NtwwwywywywMNNtNtttw加权移动平均法(续)预测方程为：例：3-2（教材P41页）加权移动平均法的均方误差小于一次移动平均法。加权移动平均法的预测能力也只有一期。讨论：思考权重系数的确定方法有哪些？twtMy1ˆ二次移动平均法二次移动平均法：将一次移动平均的序列再进行一次移动平均。计算公式为：其递推公式为：NMMMMNtttt)1(1)1(1)1()2(...NMMMMNtttt)1()1()2(1)2(二次移动平均法（续）当时间序列具有显性增加或减少的发展趋势时，用一次移动平均法和加权移动平均法进行预测会出现滞后偏差。–对线性增加的序列，预测值偏低–对线性减少的序列，预测值偏高为减少滞后偏差对预测产生的影响，可在一、二次移动均值的基础上，利用滞后偏差的规律建立线性趋势预测模型，利用线性预测趋势模型进行预测。二次移动平均法（续）预测步骤：–1.对时间序列{yt}计算一次移动均值和二次移动均值。–2.利用和估计线性趋势模型的参数：)1(tM)2(tM)1(tM)2(tMbaˆˆ和)(12ˆ2ˆ{)2()1()2()1(ttttttMMNbMMa二次移动平均法（续）–3.建立预测趋势模型–例3-3（教材P43页）–二次移动平均法有多期预测能力。tttbayˆˆˆ指数平滑法指数平滑法基于越近期的数据越能反映当前情况，对今后的预测影响越大，越远期的数据影响越小的思想，对时间序列采取由近及远逐步衰减的加权处理。指数平滑法针对平滑次数的不同，可以分为一次、二次、三次指数平滑法，分别适合于对不同类型的时间序列进行预测。一次指数平滑法设时间序列{yt},其一次指数平滑计算公式为：)1(1)1()1(tttSaayS一次指数平滑法（续）依据一次移动平均的递推公式：NyyMMNtttt)1(1)1()1(1)1(1)1(1)1()11(1ttttttMNyNNMyMM)1(1)1()1(tttSaayS)1(010)1()1()1(SayaaSttiitit带入均值令a=1/N展开计算一次指数平滑法（续）如果时间序列的变化呈水平趋势，可用第t期的一次指数平滑值作为第t+1期的预测值，预测模型如下：–t+1期的预测值为t期观测值和t期预测值的加权平均。ttttyaaySyˆ)1(ˆ)1(1一次指数平滑法（续）一次指数平滑法的预测模型可以改写如下：–新的预测值是在原预测值的基础上，利用原预测误差修正得到的。a的大小体现了修正的幅度。–a既代表了预测模型对时间序列变化的反应速度，又反映了预测模型修匀误差的能力。)ˆ(ˆ1ttttyyayy一次指数平滑法（续）确定平滑系数a可遵循的原则:–1.当时间序列波动不大，较为平稳时，可选取较小的a值，以减小修正幅度，使预测模型包含较长时间序列的信息。–2.当时间序列具有明显的变动趋势时，可去较大的a值，以便迅速跟上数据的变化，提高预测模型的灵敏度。–3.实际应用中，可多选几个a值进行试算，选取均方误差最小的a作为平滑系数。一次指数平滑法（续）应用一次指数平滑法进行预测，其中还涉及初始值S0(1)的选取。由预测者估计或指定，具体的选取方式有：–当时间序列的样本容量n20时，初始值对预测结果的影响很小，可直接选取第一期的观测值作为初始值。–当时间序列的样本容量n20时，初始值对预测结果的影响很大，应选取最初几期的观测值的均值作为初始值。一次指数平滑法（续）例3-4（教材p47页）一次指数平滑法只能用于下一期的预测。二次指数平滑法二次指数平滑法：是对一次指数平滑序列再进行一次指数平滑。其计算公式为：使用二次指数平滑法用于解决一次指数平滑法对线性变动趋势的时间序列的预测产生的滞后偏差。)1(1)1()2()1(tttSaaSS二次指数平滑法（续）二次指数平滑法预测步骤：–1.确定加权系数a和初始值S0(1)和S0(2)。–2.对时间序列{yt}计算St(1)和St(2)。–3.用St(1)和St(2)估计线性趋势模型的截距和斜率。taˆtbˆ)(1ˆ2ˆ)2()1()2()1(ttttttSSaabSSa二次指数平滑法（续）–4.建立线性趋势预测模型，并进行预测。–例3-5（教材P51页）–二次指数平滑法具有多期预测能力tttbayˆˆˆ三次指数平滑法如果时间序列变化呈现二次曲线趋势时，可应用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑法就是将二次指数平滑序列再进行一次指数平滑。其计算公式为：)3(1)2()3()1(tttSaaSS三次指数平滑法（续）预测模型为：其中的参数分别为：2ˆˆˆˆttttcbaytttcbaˆ,ˆ,ˆ]2[)1(2ˆ)34(45256)1(2ˆ33ˆ)3()2()1(22)3()2()1(2)3()2()1(ttttttttttttSSSaacSaSaSaaabSSSa三次指数平滑法（续）例3-6（教材P54页）三次指数平滑法具有多期预测能力。自适应过滤法应用移动平均法和指数平滑法，其权数不好确定，随意性较大，权数不能随数据特征的变化自动调整。自适应过滤法仍然是对时间序列观测值进行某种加权平均来预测未来值，其权值的确定方法不同。其基本预测公式为：Niititywy111ˆ自适应过滤法的基本思想预测值与实际值之间的误差大小，取决于权数的选择，所以减少误差的办法就是要调整权数，将调整后的权数重新输入到预测系统中，再计算预测值，如此反复，直到找到一组“最优”权数，使预测误差降低到最低限度。自适应过滤法的基本步骤对时间序列：y1,y2,…,yt,…,yn–1.确定权数的个数N。确定初始权