2021年全国高考甲卷数学（理）试题（解析版）A3

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合104,53MxxNxx，则MN（）A.103xxB.143xxC.45xxD.05xx【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3MxxNxx，所以1|43MNxx,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于频率组距组距.3.已知2(1)32izi，则z（）A.312iB.312iC.32iD.32i【答案】B【解析】【分析】由已知得322izi，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232izizi，32(32)23312222iiiiziiii.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根据,LV关系，当4.9L时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由5lgLV，当4.9L时，lg0.1V，则10.110101110100.81.25910V.故选：C.5.已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF，则C的离心率为（）A.72B.132C.7D.13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260FPF,由余弦定理可得2224923cos60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace，即72e.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB，60ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为（31.732）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''AB，进而得到答案．【详解】过C作'CHBB，过B作'BDAA，故''''''100100AACCAABBBHAABBAD，由题，易知ADB△为等腰直角三角形，所以ADDB．所以''100''100AACCDBAB．因为15BCH，所以100''tan15CHCB在'''ABC中，由正弦定理得：''''100100sin45sin75tan15cos15sin15ABCB，而62sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin304，所以210042''100(31)27362AB，所以''''100373AACCAB．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AACC的长度通过作辅助线的方式转化为''100AB．9.若cos0,,tan222sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin，再结合已知可求得1sin4，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin2sin22sincoscostan2cos212sin2sin，0,2，cos0，22sin112sin2sin，解得1sin4，215cos1sin4，sin15tancos15.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C种排法，若2个0不相邻，则有2510C种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103.故选：C.11.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A.212B.312C.24D.34【答案】A【解析】【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积.【详解】,1ACBCACBC，ABC为等腰直角三角形，2AB，则ABC外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O到平面ABC的距离为d，则2222122d，所以1112211332212OABCABCVSd.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（）A.94B.32C.74D.52【答案】D【解析】【分析】通过1fx是奇函数和2fx是偶函数条件，可以确定出函数解析式222fxx，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为1fx是奇函数，所以11fxfx①；因为2fx是偶函数，所以22fxfx②．令1x，由①得：024ffab，由②得：31ffab，因为036ff，所以462ababa，令0x，由①得：11102fffb，所以222fxx．思路一：从定义入手．9551222222ffff1335112222ffff511322=2222ffff所以935222ff．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期4T．所以91352222fff．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212xyx在点1,3处的切线方程为__________．【答案】520xy【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x时，3y，故点在曲线上．求导得：222221522xxyxx，所以1|5xy．故切线方程为520xy．故答案为：520xy．14.已知向量3,1,1,0,abcakb．若ac，则k________．【答案】103.【解析】【分析