2009年广东高考（理科）数学试题及答案

1绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高13VshSh一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1UR{212}Mxx{21,1,2,}Nxxkk所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数z()az1nzn单位，i()aiＡ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则()yfx(0,1)xyaaa且(,)aa()fxＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2logx12logx12x2x3。４．巳知等比数列满足，且，则当时，{}na0,1,2,nan25252(3)nnaan1n2123221logloglognaaaＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．(21)nn2(1)n2n2(1)n45．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大123,,FFF12,FF06012,FF小分别为２和４，则的大小为3FＡ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．25277．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图vv乙甲和中给定的，下01tt和列判断中一定正确的是A．在时刻，甲车在乙车前面1tB．时刻后，甲车在乙车后面1tC．在时刻，两车的位置相同0tD．时刻后，乙车在甲车前面0t二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，表示的样本的n12,,,naaas数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量满足，平行于轴，,ab1ababx，(2,1)b则．a11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为Gx，且上32G一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为GG_________________．12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，X0EX，则1DX，．ab（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参112,:()2.xtltykt为参数2,:12.xslyss数）垂直，则．k14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．112xx15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且,,ABCO，则圆的面积等于．04,45ABACBOF1F2F3OABCD2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中．(sin,2)(1,cos)ab与(0,)2（1）求的值；sincos和（2）若，求的值．10sin(),0102cos17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]（1）求直方图中的值；x（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知,1282,78125577,9125123912581825318257365218253）57336518．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，1111ABCDABCD点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中11BCCB111,CDAA点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．11,EG11DCCD（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内FGAE11DCCD的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线；11FGFEE平面（３）求异面直线所成角的正弦值11EGEA与19．（本小题满分１４分）已知曲线与直线交于两点和2:Cyx:20lxy(,)AAAxy(,)BBBxy，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是ABxxCABLABD(,)PstL上的任一点，且点与点和点均不重合．PAB（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；QABPQM（２）若曲线与有公共点，试求的最小值．22251:24025GxaxyyaDa20．（本小题满分１４分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值()ygx2yx()ygx1x1(0)mm．设．()()gxfxx（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；()yfxP(0,2)Q2m（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．()kkR()yfxkx21．（本小题满分１４分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为22:20(1,2,)nCxnxyn(1,0)PnC(0)nnkknl．(,)nnnPxy（１）求数列的通项公式；{}{}nnxy与（２）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy答案1.解：，，所以}31|{xxM},5,3,1{N}3,1{NM故，选B2.解：因为，，，所以满足的最小正整数的值是4。故，选C12iii314i1nin3.解：由函数是函数的反函数，可知，()yfx＝(0,1)xyaaa且xxfalog)(又其图像经过点，即，所以a=,。故答B(,)aaaaalog21xxf21log)(。解：在中，令n=5,得，令n=3,得，25252(3)nnaan251025)2(2a6152aa又，所以，，从而解得，公比，，0,1,2,nan552a21a2qnna2，，12122nna12log122nan所以1+3+…+（2n-1）=2123221logloglognaaa22)121(nnn5.解：显然①和③是假命题，故否定A,B,C,答D.6.解：依题意，可知，所以，0321FFF)(213FFF==28.oFFFFFFFFF60cos2)(21222122122123214224222所以，力的大小为，答D。3F72283F7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有种，122322AA若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有种，24331212ACC故，总的不同的选派方案共有12+24=36种。答A。8.解：因为速度函数是路程函数的导函数，即，所以，)(tv)(ts)()(tvtsdttvtst0)()(根据定积分的定义，比较图中速度曲线分别与x轴及直线，vv乙甲和0tt1tt围成的图形的面积，即可看出，应选A。9.解：记时求得的S值为,记初始值为,kikS00S则,,1101101aaSS22121212aaaSS,……,332321323aaaaSSnaaanaSnSnnnn211)1(故,答案为(1)；(2)这n件产品的平均长度。naaan2110。解：设，则，依题意，得),(yxa)1,2(yxba，解得或，所以或。011)1()2(22yyx11yx13yx)1,1(a)1,3(a答：或。)1,1()1,3(11.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c,)0(12222babyax依题意，得2a=12，且，解得a=6，c=,所以23ac3392736222cab所以，椭圆G的方程为。193622yx12。解：依题意，得，解得11212001212011212cacacba4141125cba答：；1254113．解：直线化为普通方程是，112,:()2.xtltykt为参数)1(22xky该直线的斜率为，2k直线（为参数）化为普通方程是，2,:12.xslyss12xy该直线的斜率为，2则由两直线垂直的充要条件，得，。122k1k14。解：112xx0221xxx2)2()1(22xxx2032xx解得且。所以原不等式的解集为{x|且}23x2x23x2x15．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，所以△AOB为等腰直角三角形，又，4AB所以，圆O的半径R=，圆的面积等于22O8)22(22R解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，得，解得R=，Ro245sin422所以，圆的面积等于O8)22(22R16．解：（1）∵向量与互相垂直，sin2a’＝－1cosb＝，∴，即①，0cos2sinbacos2sin又②1cossin22①代入②，整理，得，51cos2由，可知，2,00cos∴，代入①得55cos552sin故，。55cos552sin（2）∵，cos53)cos(5∴cos53)sinsincos(cos5将（1）的结果代入其中，得cos53sin552cos5554整理，得③，又④cossin1cossin22③代入④，整理，得21cos2由，可知，200cos所以，解得。22cos17.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得15091258182531825736521825