2021年江西高考文数真题及解析

-1-绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1,2,3,4,5U，集合1,2,3,4MN，则()UMNð（）A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,42.设i43iz，则z（）A.–34iB.34iC.34iD.34i3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq4.函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和25.若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A.18B.10C.6D.4-2-6.22π5πcoscos1212（）A.12B.33C.22D.327.在区间10,2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.168.下列函数中最小值为4的是（）A.224yxxB.4sinsinyxxC.222xxyD.4lnlnyxx9.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx10.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π611.设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A.52B.6C.5D.212.设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2aba二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．14.双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为________．-3-15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21S和22S．（1）求x，y，21S，22S；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果-4-2212210SSyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．19.设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．20.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数32()1fxxxax．（1）讨论fx的单调性；（2）求曲线yfx过坐标原点的切线与曲线yfx的公共点的坐标．（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]-5-22.在直角坐标系xOy中，☉C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出☉C的一个参数方程;（2）过点4,1F作☉C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4—5:不等式选讲]23.已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．-6-2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题:1.A解析：由题意可得：1,2,3,4MNU，则5UMNð.故选A.2.C解析：由题意可得：2434343341iiiiziii.故选C.3.A解析：由于1sin1x，所以命题p为真命题；由于0x，所以||e1x，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选A．4.C解析：由题，2sin34xfx，所以fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选C．5.C解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，-7-由43xyy可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz，上下平移直线3yxz，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时min3136z.故选C.6.D解析：由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选D.7.B解析：设“区间10,2随机取1个数”102xx，A“取到的数小于13”103xx，所以10231302lAPAl．-8-故选：B．8.C解析：对于A，2224133yxxx，当且仅当1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选C．9.B解析：由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B10.D-9-解析：如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选D11.A解析：设点00,Pxy，因为0,1B，220015xy，所以222222200000001251511426424PBxyyyyyy，而011y，所以当012y时，PB的最大值为52．故选A．12.D解析：若ab，则3fxaxa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.-10-依题意，xa为函数2fxaxaxb的极大值点，当0a时，由xb，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.当0a时，由xb时，0fx，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.故选D二、填空题：13.答案：85解析：-11-由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得：85.故答案为85.14.答案：5解析：由已知，22543cab，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280xy的距离为22|3208|55512.故答案为515.答案：22解析：由题意，13sin324ABCSacBac，所以224,12acac，所以22212cos122482bacacB，解得22b（负值舍去）.故答案为22.16.③④解析：选择侧视图为③，俯视图为④，-12-如图所示，长方体1111ABCDABCD中，12,1ABBCBB，,EF分别为棱11,BCBC的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥EADF.故答案为：③④.三、解答题．（一）必考题：17.答案：（1）221210,10.3,0.036,0.04xySS；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.解析：（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S.（2）依题意，20.320.1520.1520.025yx，0.0360.04220.0382，-13-2212210ssyx，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.18.答案：（1）证明见解析；（2）23．解析：（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPDP，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD．（2）由（1）可知，AM平面PBD，所以AMBD，从而~DABABM，设BMx，2ADx，则BMABABAD，即221x，解得22x，所以2AD．因为PD底面ABCD，故四棱锥PABCD的体积为1212133V．19.答案：（1）11()3nna，3nnnb；（2）证明见解析.解析：因为na是首项为1的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa，所以211169aqaaq，即29610qq，解得13q，所以11()3nna，所以33nnnnanb.（2）证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS，211213333nnnnnT，①