2014四川高考数学(理科)试题及参考答案

第1页共11页2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合2{|20}Axxx，集合B为整数集，则ABA．{1,0,1,2}B．{2,1,0,1}C．{0,1}D．{1,0}2．在6(1)xx的展开式中，含3x项的系数为A．30B．20C．15D．103．为了得到函数sin(21)yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度4．若0ab，0cd，则一定有A．abcdB．abcdC．abdcD．abdc5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,xyR，则输出的S的最大值为A．0B．1C．2D．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A．192种B．216种C．240种D．288种7．平面向量(1,2)a，(4,2)b，cmab（mR），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则mA．2B．1C．1D．28．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点O为线段BD的中点。设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是第2页共11页BCA．3[,1]3B．6[,1]3C．622[,]33D．22[,1]39．已知()ln(1)ln(1)fxxx，(1,1)x。现有下列命题：①()()fxfx；②22()2()1xffxx；③|()|2||fxx。其中的所有正确命题的序号是A．①②③B．②③C．①③D．①②10．已知F是抛物线2yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OAOB（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是A．2B．3C．1728D．10第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11．复数221ii。12．设()fx是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x时，242,10,(),01,xxfxxx，则3()2f。13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73）14．设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy，则||||PAPB的最大值是。15．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()x组成的集合：对于函数()x，存在一个正数M，使得函数()x的值域包含于区间[,]MM。例如，当31()xx，2()sinxx时，1()xA，2()xB。现有如下命题：①设函数()fx的定义域为D，则“()fxA”的充要条件是“bR，aD，第3页共11页()fab”；②函数()fxB的充要条件是()fx有最大值和最小值；③若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()gxB，则()()fxgxB；④若函数2()ln(2)1xfxaxx（2x，aR）有最大值，则()fxB。其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．(本小题满分12分)已知函数()sin(3)4fxx.（1）求()fx的单调递增区间；（2）若是第二象限角，4()cos()cos2354f，求cossin的值.17．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200分）。设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18．(本小题满分12分)三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示。设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.（1）证明：P为线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值.19．(本小题满分12分)CABDMNP第4页共11页设等差数列{}na的公差为d，点(,)nnab在函数()2xfx的图象上（*nN）.（1）若12a，点87(,4)ab在函数()fx的图象上，求数列{}na的前n项和nS；（2）若11a，函数()fx的图象在点22(,)ab处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列{}nnab的前n项和nT.20．(本小题满分13分)已知椭圆C：22221xyab（0ab）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当||||TFPQ最小时，求点T的坐标.21．(本小题满分14分)已知函数2()1xfxeaxbx，其中,abR，2.71828e为自然对数的底数.（1）设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f，函数()fx在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）第5页共11页参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.【答案】A【解析】{|12}Axx，BZ，故AB{1,0,1,2}2.【答案】C【解析】含3x项为24236(1)15xCxx3.【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2yxx，故可由函数sin2yx的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4.【答案】D【解析】由1100cddc，又0ab，由不等式性质知：0abdc，所以abdc5.【答案】C【解析】当001xyxy时，函数2Sxy的最大值为2.6.【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C44A种,共有55A+14C44A924216种7.【答案】D【解析1】(4,22)cmm因为cos,||||cacaca，cos,||||cbcbcb，所以||||||||cacbcacb，又||2||ba所以2cacb即2[(4)2(22)]4(4)2(22)mmmm2m【解析2】由几何意义知c为以ma，b为邻边的菱形的对角线向量，又||2||ba故2m8.【答案】B【解析】直线OP与平面1ABD所成的角为的取值范围111[,][,]22AOACOA，由于16sin3AOA，1163226sin23333COA，sin12第6页共11页所以sin的取值范围是6[,1]39.【答案】A【解析】()ln(1)ln(1)()fxxxfx故①正确1()ln(1)ln(1)ln1xfxxxx2222212111()lnln()2ln2()211111xxxxxffxxxxxx当[0,1)x时，|()|2||()20fxxfxx令()()2ln(1)ln(1)2gxfxxxxx（[0,1)x）因为22112()20111xgxxxx，所以()gx在[0,1)单增，()()2(0)0gxfxxg即()2fxx，又()fx与2yx为奇函数，所以|()|2||fxx成立故③正确10.【答案】B【解析】设直线AB的方程为：xtym，点11(,)Axy，22(,)Bxy，又1(,0)4F，直线AB与x轴的交点(0,)Mm（不妨假设10y）由220xtymytymyx，所以12yym又21212121222()20OAOBxxyyyyyy因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以122yy，故2m于是121111111192922()2322488ABOAFOSSyyyyyyy当且仅当11192483yyy时取“”，所以ABO与AFO面积之和的最小值是3二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.【答案】2i【解析】22222(1)(1)21(1)(1)iiiiiii12.【答案】1【解析】2311()()4()21222ff13.【答案】60第7页共11页【解析】92AC，9292sinsin370.6060sinsin670.92ACBCAB14.【答案】5【解析】(0,0)A，(1,3)B，因为PAPB，所以222||||||10PAPBAB故22||||||||52PAPBPAPB（当且仅当||||5PAPB时取“”）15.【答案】①③④三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.解：（1）由232242kxk2234312kkx所以()fx的单调递增区间为22[,]34312kk（kZ）（2）由4()cos()cos2354f4sin()cos()cos2454因为cos2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444所以28sin()cos()sin()4544又是第二象限角，所以sin()04或25cos()48①由3sin()022444kk（kZ）所以33cossincossin244②由25515cos()cos()(cossin)48422222所以5cossin2综上，cossin2或5cossin217.解：（1）X可能取值有200，10，20，1000033111(200)()(1)228PXC，1123113(10)()(1)228PXC，2213113(20)()(1)228PXC，3303111(100)()(1)228PXC故分布列为X2001