2013年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析

12013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()+()PABPAPB如果事件A、B独立，那么()()()PABPAPB。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数z满组(3)(2)5zi（z为虚数单位），则z的共轭复数z为(A)2i(B)2i(C)5i(D)5i2、已知集合0,1,2A，则集合,BxyxAyA中元素的个数是(A)1(B)3(C)5(D)93、已知函数()fx为奇函数，且当0x时，21(),fxxx则(1)f(A)-2(B)0(C)1(D)24、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(A)512(B)3(C)4(D)65、将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(A)34(B)4(C)0(D)46、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组220210,380，xyxyxy所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A)2(B)1(C)13(D)127、给定两个命题,.pq若p是q的必要不充分条件，则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8、函数cossinyxxx的图象大致为(A)(B)(C)(D)OxyOxyOxyOxy29、过点(3,1)作圆22(1)1xy的两条切线，切点分别为,AB，则直线AB的方程为(A)230xy(B)230xy(C)430xy(D)430xy10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A)243(B)252(C)261(D)27911、抛物线211:(0)2Cyxpp的焦点与双曲线222:13xCy的右焦点的连线交1C于第一象限的点.M若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p(A)316(B)38(C)233(D)43312、设正实数,,xyz满足22340.xxyyz则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为(A)0(B)1(C)94(D)3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，若输入c的值为0.25，则输出的n的值为_______.14、在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得121xx成立的概率为______.15、已知向量AB与AC的夹角为0120，且3,2.ABAC若APABAC，且APBC，则实数的值为____________.16、定义“正对数”：0,01,lnln,1.xxxx现有四个命题：①若0,0ab，则ln()lnbaba；②若0,0ab，则ln()lnlnabab；③若0,0ab，则ln()lnlnaabb；④若0,0ab，则ln()lnlnln2abab.其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）是结束输出n否开始输入(0)011,2,1FFn101FFF010FFF1nn11F3三、解答题：本大题共6小题，共74分.17、（本小题满分12分）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且76,2,cos.9acbB.（Ⅰ）求,ac的值；（Ⅱ）求sin()AB的值.18、（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥PABQ中，平面PBABQ，BABPBQ，,,,DCEF分别是,,,AQBQAPBP的中点，2AQBD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.（Ⅰ）求证：//ABGH；（Ⅱ）求二面角DGHE的余弦值。19、（本小题满分12分）甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23。假设各局比赛结果相互独立。（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分X的分布列和数学期望。FPHEGACBQD420、（本小题满分12分）设等差数列na的前n项和为nS，且4224,21.nnSSaa（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb的前n项和为nT，且12nnnaT（为常数）。令22,(*)nncbnN，求数列{}nc的前n项和nR。21、（本小题满分13分）设函数2()xxfxce（2.71828…e是自然对数的底数，cR）（Ⅰ）求()fx的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于x的方程ln()xfx根的个数。22、（本小题满分13分）椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,FF，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF。设12FPF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)Mm，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.5一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考点：复数的基本概念．3253948专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．3253948专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．3253948专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）6A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．3253948专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3253948专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析7式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．3253948专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．8点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．3253948专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．3253948专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切