2021年全国高考乙卷数学（理科）试题（逐题解析word版）【适用地区：河南、安徽、江西、山西、陕西

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。适用地区：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设2346zzzzi，则z（）A.12iB.12iC.1iD.1i2.已知集合21,SssnnZ，41,TttnnZ，则ST?（）A.B.SC.TD.Z3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq4.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx5.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A.7sin212xxB.sin212xC.7sin212xD.sin212x8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.79B.2332C.932D.299.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB（）A.表高表距表目距的差表高B.表高表距表目距的差表高C.表高表距表目距的差表距D.表高表距-表目距的差表距10.设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2aba11.设B是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2,12B.1,12C.20,2D.10,212.设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A.abcB.bcaC.bacD.cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30xmy，则C的焦距为_________．14.已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21S和22S．（1）求x，y，21S，22S；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210SSyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．19.记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．20.设函数lnfxax，已知0x是函数yxfx的极值点．（1）求a；（2）设函数()()()xfxgxxfx．证明:1gx．21.已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，且F与圆22:(4)1Mxy上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，,PAPB是C的两条切线，,AB是切点，求PAB△面积的最大值．（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设2346zzzzi，则z（）A.12iB.12iC.1iD.1i【答案】C【解析】【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi，则234646zzzzabii，所以，4466ab，解得1ab，因此，1zi.故选：C.2.已知集合21,SssnnZ，41,TttnnZ，则ST?（）A.B.SC.TD.Z【答案】C【解析】【分析】分析可得TS，由此可得出结论.【详解】任取tT，则41221tnn，其中nZ，所以，tS，故TS，因此，STT.故选：C.3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin1x，所以命题p为真命题；由于0x，所以||e1x，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选：A．4.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选：D6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（）A.7sin212xxB.sin212xC.7sin212xD.sin212x【答案】B【解析】【分析】解法一：从函数()yfx的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yfx的解析表达式；解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx的解析表达式.【详解】解法一：函数()yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，令23tx,则,234212ttxx,所以sin212tft,所以sin212xfx；解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象