产销问题的最大利润 数学建模

自动081班：摘要在充分理解题意的基础上，我们提出问题，并对问题做出分析，提出了合理的假设模型，并对模型进行验证。通过对问题的深入分析计算，我们将本题归结为规划问题，并建立了非线性规划模型。通过计算得出结论：1）处理问题时，通过建立模型，尽可能利用数学手段，得到问题最优解，解得1~6月份分别生产手工产品840件、1050件、1155件、1365件、1365件、1260件时获得最大利润896328元2）通过问题---模型经过类比发现，旺季促销获得利润高于淡季促销以及不促销，其获得利润分别如下：900378，897168，896328。得出结论，旺季促销情况下的产销方案优于淡季促销和不促销，最大利润为900378元。问题引出某个以生产手工产品为主的公司，在1~6月中需要针对收集到市场信息分析，对人员配置、每月销售手工产品数量、每月生产手工产品数量进行科学决策，使公司获得最好的经济效益。该公司的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在手工产品上，经过各个部门的运作，形成成本（生产材料成本、人力成本、库存成本、缺货损失成本等）和利润。题中给出了该公司所掌握的一些数据资料，根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在现有信息的条件下，向公司提供有益的建议以期获得最大收益。模型假设由于市场的不稳定性以及一些问题的不确定性，我们对求解的模型作出一些合理化的假设：1、不考虑产品需求预测估计值的误差，也不考虑产品各项成本费用在此段时间的变化。2、为方便起见，时间和产量都作为离散量处理。固定的认为该月初的该产品的数量为库存量，本月生产将于月底一次性完成并一次性销售，不考虑本月生产手工产品的库存花费。时间上以月份i为单位（i=1，2，3，4，5，6），每月产量为Xi，按月分析。3、规定月初招聘人员，月末解聘人员。当月招聘人员的培训时间不影响正常工作时间和加班时间，并且解聘于月末已完成本月生产任务也不影响本月正常生产和加班时间。模型分析基本参数的说明该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以归化为线性求解。由于该题目涉及数据变量不是教多，我们可以直接使用lingo软件直接求解（条件所限，只能用笨方法计算）。问题的约束条件由人数变化和每月销售件数变化范围确定。问题的目标函数就是总利润函数。总利润=总销售额-成本（包括人力成本、生产成本，库存缺货成本以及其他成本等）。我们的目标是确定人数变化和每月销售件数的可行值，使得我们的成本尽可能低，总利润最大。第二问实质上就是对于第一问的扩展。我们可以建立一个以成本最小利润最大为目标函数的规划模型，从中得出最优的销售方案。Max最大收益Min最小支付T工作时间X每月的生产额模型建立及求解我们暂不考虑一些限制条件（比如工人工资，库存成本等），那么由题目所给数据简化模型可得：前六个月总销售额为1000+1100+1150+1300+1400+1300=7250；每件利润为240-100=140；总利润最大为Max=7250*140=1015000。显然上述数据是很不准确的，我们必须把工人的工资考虑在内，那么所有加工完成后按小时计工资为12*11280{=[7250-200(库存)*1.6]}=135360那么正常上班是否有这么多时间呢？总时间T=8*21*10*6=10080，显然11280，那么缺少的时间1200（=11280-10080）小时，工人就得加班，支出随之提高。我们来看工人可以接受的总加班时间T’=10*10*6=600,这说明即使所有工人同意加班，还是不能按时完成半年的总产量，那么我们必须要考虑再招人。由题知，不加班情况下每个工人半年的工作时间为T=8*21*6=1008600也就是说，按总的销售量来算，只用再招1个人即可完成所有工作。模型检验及修改由以上分析可知，要想如期完成任务，我们必须重新聘请一些人。所以我们也不得不考虑新招工人所需的培训费用。由以上可知，加班总时间为1200。加班所多花费用为1200*6=720050(培训费用)，那我们能不能多招人，使所有工人都不必加班。则至少应该招1200/168=7人，那么所需加班时间仅为1200-168*7=24h，多支出的费用为3507200，符合市场规律。同时我们应该看到半年时间内每月所需的数量也是不相同的，那么这7个人应该什么开始招呢？？如果招的早了，就得有库存，那样库存成本也不是一个小数目；如果招的晚了，当遇到旺季时还需要加班。怎样才能在加班与库存之间找到一个平衡点呢，使库存与招工总费用最低？我们撇开生产能力的约束，来找到每月生产量与库存之间的平衡点，使总费用最少。由于5月份销量最多，使前5个月的库存量与6月份的生产量正好足够六月份销售。不妨设第i月生产Xi件（i=1、2、3、4、5、6）则Min=（X1-800）*10*4+（X2-1000）*10*3+（X3-1150）*10*2+（X4-1300）*10（此解需要借助linggo或matlab等数学软件才能算得）我们不妨分月进行计算：每个工人每月最少的生产量为21*8/1.6=105件每个工人每月最多的生产量为105+10/1.6=111.25件每个工人不加班情况下工资为21*8*12=2016元一月份：使不留库存所需工人数为（1000-200）/105≈8Min1=40*10+100*2+840*100+2016*8=100728二月份：不留库存所需工人数为（1100-40）/105≈10Min2=10*20+50*2+1050*100+2016*10=125460三月份：使满足销售所需工人数为（1150+10）/105≈11Min3=5*20+50*1+1155*100+2016*11=137826四月份：是满足销售所需工人数为（1300+5）/105≈13Min4=60*10+50*2+1365*100+2016*13=163408五月份：不留库存所需工人数为（1400-60）/105≈13Min5=25*10+50*0+1365*100+2016*13=162958六月份：不留库存所需工人数为（1300-25）/105≈12Min6=0+100*1+1260*100+2016*12=150292若六月只用12名工人，则还缺货15件，必须用外包，此部分支出为Min外=15*200=3000此时，最大利润=MAX-(Min1+Min2+Min3+Min4+Min5+Min6+Min外)=7250*240-（100728+125460+137826+163408+162958+150292+3000）=896328由以上分析可知：想要取得最大利润的产销方案是一月初裁2人，二月初招2人，三月初招1人，四月初招2人，六月初裁一人。由此获得的最大利润为896328元。下面我们考虑公司促销的情况：（解法同上，不再赘述）如果1月份促销，则总利润为：897168元如果1月份促销，则总利润为：900378元结果分析由以上分析，我们可以做出决策：1）正常销售时候的最大利润决策：1月初时裁去2人，2月初招聘2人，3月初招聘1人，4月初招聘2人，6月裁去1人1~6月分别生产手工业品840、1050、1155、1365、1365、1260件，六月份外包生产15件，销售手工业品1000、1090、1145、1300、1400、1300件，获得最大利润896328元。2）淡季促销（1月）时候最大利润决策：1月初时裁去1人，2月初解聘1人，4月初招聘3人，6月裁去1人。1~6月分别生产手工业品935、1050、1055、1365、1365、1260件，销售手工业品1135、1034、1081、1305、13401275件时，获得最大利润897168元。3）旺季促销（4月）时候最大利润决策：1月裁掉2人，2月招聘两人，3月招聘1人，4月招聘3人，5月解聘1人，6月解聘2人。1~6月分别生产手工业品840、1050、1155、1470、1365、1155件，销售手工业品1000、1095、1155、1462、1313、11770件时，获得最大利润900378元。所以旺季促销的决策明显优于淡季促销与不促销，这符合经济学原理。旺季集中促销利于企业通过招聘临时工减少人力成本和存储成本。所以旺季促销是企业追寻最大利润的有力方法。结论问题一：最大利润为896328元。最优化决策：1月初时裁去2人，2月初招聘2人，3月初招聘1人，4月初招聘2人，6月裁去1人1~6月分别生产手工业品840、1050、1155、1365、1365、1260件，六月份外包生产15件，销售手工业品1000、1090、1145、1300、1400、1300件，获得最大利润896328元。问题二：旺季促销盈利最多，为900378元。最优化决策：1月裁掉2人，2月招聘两人，3月招聘1人，4月招聘3人，5月解聘1人，6月解聘2人。1~6月分别生产手工业品840、1050、1155、1470、1365、1155件，销售手工业品1000、1095、1155、1462、1313、11770件时，获得最大利润900378元。根据经济学经验，所得结论与经验是相吻合的。运用简单的数学工具，我们对日常生活的小事做了定量分析。但同时必须注意，这里建立的数学模型与实际产销还有一定的距离，因为在建模的过程中我们做了一些简化和假设，也忽略了一些因素，但对于我们仍有一定的指导作用。