专题12二次函数压轴解答题（共44道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题12二次函数压轴解答题（共44道）一．解答题（共44小题）1．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值−94，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜−12．【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴{1−𝑝+𝑞=04+2𝑝+𝑞=0，解得{𝑝=−1𝑞=−2，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+22=12，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12是函数有最小值：y=14−12−2=−94，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∵a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜−12∴m的取值范围为m＜−12．2．（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤yQ≤4．3．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，√32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=−√3x+b，而OB中点的坐标为（34，√34），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=−√3x+√3−（2√33x2−2√33x）=−2√33x2−√33x+√3，即可求解．【解析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得{𝑐=0𝑎+𝑏+𝑐=0√32=94𝑎+32𝑏+𝑐，解得{𝑎=−2√33𝑏=−2√33𝑐=0，故抛物线的表达式为：y=2√33x2−2√33x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=−√3x+b，而OB中点的坐标为（34，√34），将该点坐标代入CD表达式并解得：b=√3，故直线CD的表达式为：y=−√3x+√3；（3）设点P（x，2√33x2−2√33x），则点Q（x，−√3x+√3），则PQ=−√3x+√3−（2√33x2−2√33x）=−2√33x2−√33x+√3，∵−2√33＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（−14，27√316）．4．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴12（1﹣a）（﹣a）＝6解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+√7或x＝﹣1−√7，∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+√7，﹣3）或（﹣1−√7，﹣3）．5．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（1𝑟，0）．（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+𝑏𝑟+𝑎𝑟2=0，即a（1𝑟）2+b•1𝑟+1＝0，推出1𝑟是方程ax2+bx+1的根，可得结论．（3）由题意a＞0，∴m=4𝑎−𝑏24，n=4𝑎−𝑏24𝑎，根据m+n＝0，构建方程可得结论．【解析】（1）由题意，得到−𝑏2=3，解得b＝﹣6，∵函数y1的图象经过（a，﹣6），∴a2﹣6a+a＝﹣6，解得a＝2或3，∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，∴r2+br+a＝0，∴1+𝑏𝑟+𝑎𝑟2=0，即a（1𝑟）2+b•1𝑟+1＝0，∴1𝑟是方程ax2+bx+1的根，即函数y2的图象经过点（1𝑟，0）．（3）由题意a＞0，∴m=4𝑎−𝑏24，n=4𝑎−𝑏24𝑎，∵m+n＝0，∴4𝑎−𝑏24+4𝑎−𝑏24𝑎=0，∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，∵a+1＞0，∴4a﹣b2＝0，∴m＝n＝0．6．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（𝑝2，𝑝24+q），根据题意得出𝑝24+q=𝑝2+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=𝑝24−𝑝2−1=−14（p﹣1）2+54，从而得出q的最大值．【解析】（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得{𝑎+𝑏+1=24𝑎+2𝑏+1=1，解得a＝﹣1，b＝2；（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（𝑝2，𝑝24+q），∵顶点仍在直线y＝x+1上，∴𝑝24+q=𝑝2+1，∴q=𝑝24−𝑝2−1，∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，∴q=𝑝24−𝑝2−1=−14（p﹣1）2+54，∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．7．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得{12=9+3𝑏+𝑐−3=4−2𝑏+𝑐，解得{𝑏=2𝑐=−3，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），故OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．8．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC