专题21 与三角形、四边形相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题21与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程27120xx的两个根OAOB，4tan3DAB，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DCCB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，APC△的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使CMP!是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点C坐标为7,4(2)14207149871255ttStt(3)存在点P4,4或9,42或59,412，使CMP!是等腰三角形【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA，4OB，再由4tan3DAB，可得4OD，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，90ODCAOD，即可求解；（2）分两种情况讨论：当07t„时，当712t„时，过点A作AFBC交CB的延长线于点F，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当52PCCM时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解．(1)解：27120xx，解得13x，24x，∵OAOB，∴3OA，4OB，∵4tan3DAB，∴43ODOA，∴4OD，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∵四边形ABCD是平行四边形，∴347DCAB，DCAB∥，∴点C坐标为7,4；(2)解：当07t„时，117414222SCPODtt，当712t„时，过点A作AFBC交CB的延长线于点F，如图，2222345ADOAOD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴5BCAD，∵BCAFABOD，∴574AF，∴285AF，∴11281498722555SCPAFtt，∴14207149871255ttStt；(3)解：存在点P，使CMP!是等腰三角形，理由如下：根据题意得：当点P在CD上运动时，CMP!可能是等腰三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAD，BC=AD=5，∴4tantan3CDAB，∵点M为BC的中点，∴52CM，当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴3,22CFFM，设PC=PM=a，则PD=7-a，32PFa，∵PF2+FM2=PM2，∴222322aa，解得：2512a，∴59712DPPC，∴此时点P59,412；当52PCCM时，∴972PDPC，∴此时点P9,42；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则32CG，∴23PCCG，∴PD=7-PC=4，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴此时点P4,4；综上所述，存在点P4,4或9,42或59,412，使CMP!是等腰三角形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC和BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DCAE，120ADC，从而得出ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AEAG，试求出正方形ABCD的面积．【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD=5【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可；（2）①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=2210AGCG，然后利用正方形的面积公式求解即可．(1)证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，在△EBA和△DBC中，EBDBEBADBCABCB，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(2)证明：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形．连结CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG为正方形的对角线，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】GEBBEBAGBCABCB，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC为直角三角形，∴以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②连结BD，∵△AGC为直角三角形，2210AEAG，∴AC=2210AGCG，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=BD=10，∴S四边形ABCD=211522ACBDAC．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．3．（2022·海南）如图1，矩形ABCD中，6,8ABAD，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】(1)当点P是BC的中点时，求证：ABPECP△≌△；(2)将APB△沿直线AP折叠得到APB，点B落在矩形ABCD的内部，延长PB交直线AD于点F．①证明FAFP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接BC，求PCB△周长的最小值；③如图2，BB交AE于点H，点G是AE的中点，当2EABAEB时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析；132AF；②12,；③2ABHG，见解析【分析】（1）根据矩形的性质得到ABDE∥，再结合P是BC的中点证明ABPECP△≌△；（2）①设FAx，在RtABF中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；②当点B恰好位于对角线AC上时，CBAB最小，利用勾股定理计算即可；③过点B作BMDE∥，交AE于点M，证明BMEMABAB，再由11()22HGAGAHAEAMEM即可得到12HGAB．(1)解：如图9-1，在矩形ABCD中，ABDC，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】即ABDE∥，∴1,2EB．∵点P是BC的中点，∴BPCP．∴(AAS)ABPECP△≌△．(2)①证明：如图9-2，在矩形ABCD中，ADBC∥，∴3FAP．由折叠可知34，∴4FAP．∴FAFP．在矩形ABCD中，8BCAD，∵点P是BC的中点，∴118422BPBC．由折叠可知6,4ABABPBPB，90BABPABF．设FAx，则FPx．∴4FBx．在RtABF中，由勾股定理得222AFBABF，∴2226(4)xx，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴132x，即132AF．②解：如图9-3，由折叠可知6ABBA，BPBP．∴8PCBCCPPBCBCBCBCB△．由两点之间线段最短可知，当点B恰好位于对角线AC上时，CBAB最小．连接AC，在RtADC中，90D，∴22228610ACADDC，∴1064CBACAB最小值，∴88412PCBCCB最小值．③解：AB与HG的数量关系是2ABHG．理由是：如图9-4，由折叠可知16,,ABABBBAE．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】过点B作BMDE∥，交AE于点M，∵ABDE∥，∴ABDEBM∥∥，∴165AED．∴ABBMAB，∴点H是AM中点．∵2EABAEB，即628，∴528．∵578，∴78．∴BMEM．∴BMEMABAB．∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴11,22AGAEAHAM．∴11()22HGAGAHAEAMEM．∴12HGAB．∴2ABHG．【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．4．（2022·吉林）如图，在ABC中，90ACB，30A，6cmAB．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作120APQ，另一边PQ与折线ACCB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为(s)x，菱形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为2()cmy．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为cm；（用含x的代数式表示）(2)当点M落在边BC上时，求x的值；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】(1)2x(2)1(3)2222301373183931233639332xxyxxxxxx＜【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分类讨论：当01x＜时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当332x＜时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，