数学建模证券投资基金

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：第十组所属学校（请填写完整的全名）：中国计量学院参赛队员(打印并签名)：1.韦磊2.丁林锋3.储江龙指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2009年8月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1摘要在充分理解题目意思的基础上，我们对题目进行了相关的假设。在经过深入分析后，我们将通过实证设计描述、收益率评价法对基金进行收益与风险评价，并建立了证券组合分析模型和双目标规划模型。在模型的准备阶段我们做了很多工作：（一）单个证券基金的收益和风险分析（二）证券组合的收益和风险分析方法（三）证券组合的可行域和有效边界求解（四）个人偏好与无差异曲线对于问题一，我们进行了实证设计，通过Excel和Minitab15软件对选取的14支基金的数据进行处理，并用采用了收益评价法对收益和风险进行了评价，得到了05年、06年的基金绩效和风险的评价。对于问题二，我们首先使用了证券组合分析法模型，得到了证券组合的中风险和收益的定性结论，验证了高风险、高收益，低风险、低收益的理论。紧接着我们通过建立收益和风险的双目标规划模型，采用偏好系数加权法转化为单目标，使用winQSB和1stOpt软件进行求解得到了定量的组合数据。对应与不同的风险偏好系数的取值范围，得到不同的基金组合方案（见正文表5-2），并对模型进行了评价。在模型的改进中，我们将14支基金转变为7支基金，进行组合求解，得到结论：通过对基金进行筛选后得到的结论和原结论基本相同。在最后我们给出了模型的总体优缺点评价。关键词：投资组合收益与风险评价偏好系数加权法双目标规划模型2一、问题重述随着证券市场法规和各项基础制度建设不断完善，基金业的发展十分迅速，同时，投资者数量快速增加。证券投资基金是一种实行组合投资、专业管理、利益共享、风险公担的集合投资方式，而以证券投资基金为可选投资目标证券的证券投资基金称为复合基金（FundofFunds）。不同的投资方式都伴随着相应的风险和收益，因此任何投资策略实际上都是在寻找收益与风险之间的均衡。为此选择我国公开发行的契约型-开放式-股票型基金为可选投资目标基金。试对它们2005年1月以来的收益与风险进行评价（根据自己的数据采集、处理能力选取适当规模的数据，附件中也给出了部分数据）。基于你的评价结果，根据投资者的风险收益偏好，构建复合基金之投资组合。二、问题分析考虑题目的题设和相关要求，我们进行下述的分析对于问题的第一问，对可选投资目标基金的收益和风险进行评价实际上就是对契约型-开放式-股票型基金进行实证研究。在对基金的业绩进行实证研究之前，首先要进行实证设计描述。这包括样本基金的选择、基准组合的选取、无风险利率和基金周收益率的选择、数据来源及应用软件的确定等。实证研究时，根据各个基金的一段时间的日累计收益值求得周收益率平均值、周收益率标准差及其排名，然后用收益率评价法对各个基金作出评价。基于模型中的第二问，根据投资者的风险收益偏好，构建复合基金之投资组合。分析可知，基金组合是在于选取适当的方法选择多种基金作为投资对象，已达到在保证预定收益的前提下使投资风险最小或者在控制风险的前提下试投资收益最大化的目标，避免投资过程的随意性。在此模型中，我们可以通过采取两种方法对投资组合进行构建分析。首先我们采用证券组合分析方法，求出所选基金组合的可行域和有效边界，再依据投资者个人偏好，选出不同的无差异曲线，则最满意的有效组合，即为无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合。这样我们就可以得到相应的定性分析。我们再依据方法二，我们制定相应双目标规划模型，再根据投资者不同偏好，我们得到偏好系数加权，将双目标转变为单目标，定量地求出不同偏好的投资组合。这样就可以定性分析，定量求解得到投资基金组合。三、模型假设和符号说明3.1模型假设1.在基金的绩效分析中不考虑非系统风险。2.投资收益按周平均收益率多少来表示，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映，因此，我们用标准差来表示风险的大小。3.由于选择契约型-开放式-股票型基金为投资目标基金，在买卖基金时不考虑基金的申购费，赎回费用，基金转换费等一系列费用。4.在计算基金的投资收益时，收益只计周净值的增减，不考虑基金分红所带来3的影响。5.投资者只能按照市场价格买入或卖出基金，且这种单期的买卖行为不会对基金的价格产生影响。6.基金所在的市场是无障碍的，基金的交易数量不限，投资者可根据其财力在市场上按市场价格购买任一种基金。3.2符号说明M：投资者拥有的全部资金；R：基金组合的总收益；C：基金组合的总风险；is：供投资者选择的基金；iv：基金is的平均收益率；iq：购买基金is的风险损失率；iw：投资于基金is的比例；：投资者偏好；Z：基金组合的净收益；四、模型准备4.1单个证券基金的收益和风险[1]（1）收益及其度量任何一项投资的结果都可以用收益率来衡量，通常收益率的计算公式收益率=100%收入支出支出投资期限一般用年俩表示；如果期限不是整数，则转换为年。在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益和差价收益之和，其收益率的计算公式为：100%r红利期末市价总值期初市价总值期初市价总值通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是是一个随机变量。我们可假定收益率服从某种概率分布，即已知每一收益出现的概率，用下表：表4-1不同收益率对应的概率收益率（%）r1r2r3r4……rn概率PiP1P2P3P4……Pn数学中求期望收益率或收平均数的公式如下：niiiprrE1)(4在实际中，我们经常使用历史数据来估计期望收益率，假设证券的月或年实际收益率为tr（t=1，2，3,…,n），那么估计期望收益率的计算公式为：nttrnr11（2）风险及其度量如果投资者以期望收益率为依据进行决策，那么他必须意识到他正冒着得不到期望收益率的风险。实际收益率与期望收益率会有偏差，期望收益率是使可能的实际值与预测值的平均偏差达到最小的点估计值。可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏差程度就越大，投资者承担的风险也就越大。因而风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上，这种偏离程度由收益率的标准差来读来度量。如果偏离程度用|()|irEr来度量，则这种偏离程度被称为“标准差”，记着。niiiprErr122)()(式中：ip——可能收益率发生的概率；——标准差。同样，在实际中，我们也可以使用历史数据来估计标准差：假设证券的月或年实际收益率为tr（t=1，2，3,…,n），那么估计方差的公式为：212)(11nitrrnS，当n很大时，也可以使用下述的公差计算公式:212)(1nitrrnS4.2证券组合的收益和风险我们用期望收益率和方差来计量单一证券的收益率和风险，一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一只证券占一定的比例，我们也可以将证券组合视为一只证券构成。，那么，证券的收益率和风险也可用期望收益率和风险也可以用期望收益率和方差来计量。不过，证券组合的期望收益率和方差可以通过由构成的单一证券的期望收益率和方差来表达。（1）两种证券组合的收益和风险设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金一以Ax的比例投资于证券A，以Bx的比例投资于证券B，且1BAxx，成该投资者拥有一个证券组合P。如果到期时，证券A的收益率为Ar，证券B的收益率为Br，则证券组合P的收益率pr5为：BBAAprxxrr证券组合中的权数可以是负，比如Ar0，则表示该组合卖空了证券A，并就爱你个所得的资金连同自由资金买入证券B，因为1BAxx，故有，1`1ABxx。投资者在进行投资决策时并不知道Ar和Br的确切值，因而Ar、Br应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。投资组合P的期望收益率)(prE和收益率的方差2p为：)()()(BBAAprExxrErEABBABABBAApxxxx222222式中：—相关系数；—ABABBA——协方差，记为COV(A,B)选择不同的组合权数，可以得到包含证券A和证券B的不同的证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。投资者可以根据自己的对收益率和方差（风险）的偏好，选择自己最满意的组合。（2）多种证券组合的收益和风险设有N种证券，记为N321A...AA、、、、A,证券组合P=（Nxxx....x321、、、、、）表示将资金允许分别以权数Nxxx....x321、、、、、，投资于N321A...AA、、、、A。如果允许卖空，则权数可以为负的，负的权数表示卖空证券占总资金的比例。正如两种证券的投资组合情形一样，证券组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权平均。即：设iA的收益率为),....,3,2,1(Niri，则证券组合P=（Nxxx....x321、、、、、）的收益率为：NiiiNNprxrxrxrxr1`2211...推导可得到证券组合P的期望收益率和方差为:E(pr)=NiiirEx1)(6ijjiNiNijijiNiNijipxxxxxx11112),cov(式中：2p——证券组合P的方差的相关系数；和——jiijrr4.3证券组合[2]的可行域和有效边界（1）证券组合的可行域首先考虑两种组合的可行域。如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应地，任何一个证券组合也可以由组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过A和B的组合线。可见组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和B的所有可能的组合。由前面的两种证券组合的收益和风险的两个公式和1BAxx，A，B的证券组合P的组合线由下述的方程确定：)()1()()(BAAAprExxrErEABBAAABAAApxxxx)1(2)1(22222给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A和证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。①完全正相关下的组合线。在完全正相关下，AB=1，方程可变为:)()1()()(BAAAprExxrErE|)1(|BAAApxx假定不允许卖空，1xx0AB、，则)()1()()(BAAAprExxrErEBAAApxx)1(因为)(prE与Ax是线性关系，而p与Ax是线性关系，所以，p与)(prE也是线性关系。因此得到证券A和B的构成的组合线是连接两点的直线。7图4-1AB=1时的组合线②完全负相关的组合线。在完全负相关情况下，AB=-1)()1()()(BAAAprExxrErEABBAAABAAApxxxx)1(2)1(22222|)1(|BAAApxx此时，p与)(prE是分段线性关系，组合线如下图图4-2AB=-1时的组合线从图我们可以看出，在完全负相关的情况下，