积分及其经济应用

第1页第3章积分及其经济应用积分的概念与性质积分的运算积分在经济中的应用微分方程及其应用数学实验（三）训练（三）本章内容微元法（分割、替代、求和、取极限）牛顿莱布尼兹公式思想—微积分基本公式–-第2页3.1积分的概念与性质•定积分的概念与性质（本次课）•不定积分的概念与性质（下次课）•定积分的概念•定积分的性质•不定积分的基本公式•不定积分的性质•原函数与不定积分的概念第3页3.1积分的概念和性质目标重点•理解定积分概念引出的思路，掌握定积分的几何意义，初步理解微元法思想，掌握定积分的可加性质、比较性质，会用性质解题•概念引入的思路即—微元法思想难点•微元法思想•会用定积分表示相应的面积、量第4页(一)引例1.曲边梯形的面积曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成.下面讨论的求法：?A)(xfy矩形面积梯形面积一、定积分的概念第5页1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)替代在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,用其面积替代得)()(1iiiiiixxxxfA一、定积分的概念步骤如下：第6页3)求和niiAA1niiixf1)(4)取极限令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limayo1xix1ixi一、定积分的概念第7页引例2已知某商品的边际收益是销售量的连续函数3)求和（积零为整）将销售段[a,b]分成n个销售段)(xRR求销售量x由a变化到b时，R=？1)分割（化整为零）],[1iixx1iiixxx其销售量为2)替代（以直代曲）iiixRR)(4)取极限（近似变精确）niiixRR1)(iniixRR)(lim10},,,max{21nxxx以上两个特殊和式的极限称为定积分。一、定积分的概念第8页（二）定积分定义任一种分法,210bxxxxan任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,baxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作一、定积分的概念第9页baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分的概念第10页曲边梯形的面积A是曲线y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，即一、定积分的概念baxxfAd)()(xRR],[ba总收益是边际收益在区间上的定积分，即xxRRbad)(说明：（1）定积分存在值为常数，与被积函数及积分区间有关,与积分变量是什么无关。baxxfd)(battfd)(bauufd)(（2）假定ab，规定：,0d)(aaxxfbaxxfd)(.d)(abxxf（3）可积的条件：闭区间上连续或只有有限个第一类间断点时（4）广义积分：,d)(axxf,d)(bxxfxxfd)(当积分限中有无穷时的积分为广义积分第11页定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和一、定积分的概念第12页一、定积分的概念例1看图填空：把阴影部分、实际问题表示成定积分xxd111-22π10dxx210dexx•某产品在t年时总产量的变化率为ttP1550)(，求第1年到第3年的总产量；3131d)1550(d)(ttttPQQf05.0200)(•某商品再销售一件可获收益为销售了50件商品时的总收益。（元），求QQQQfd)05.0200(d)(500500边际收益为,05.0200)(QQf第13页baxd.1(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.3ab二、定积分的性质5.若在[a,b]上,则（可加性）（比较性质）由可加性可得运算性质：第14页二、定积分的性质由可加性可得运算性质：6.例2比较下列各组定积分值的大小：若f(x)在[-a,a]上连续的奇函数，则0d)(aaxxf若f(x)在[-a,a]上连续的偶函数，则xxfxxfaaad)(2d)(0xxd210xxd2102（1）与（2）xxd221xxd2212与解（略）课堂训练：同步训练3.11,2,3第15页小结、思考题、作业小结思考题•定积分定义的四步：分割、替代、求和、取极限可积的条件是什么？作业•预习不定积分概念，复习导数公式•任意图形的面积及实际问题表示成定积分•6条性质中的：可加性、比较、对称奇偶时运算第16页3.1积分的概念和性质(2)•不定积分的概念与性质•不定积分的基本公式•不定积分的性质•原函数与不定积分的概念微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算第17页3.1积分的概念和性质(2)目标重点•掌握原函数与不定积分的概念•熟记不定积分基本公式，会用公式和性质•掌握求导运算与求不定积分互逆运算思想难点•逆向思维能力培养•原函数及不定积分的概念•不定积分基本公式第18页一、原函数与不定积分的概念1.引例已知某商品的边际收益函数为,415)(xxR求收益函数R(x).本问题是已知收益函数的导数，求收益函数R(x).显然xxx415)215(2还有没有其他函数满足此关系？有多少个？2.原函数定义若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)CxF)(若F(x)为f(x)的一个原函数，则全体原函数（C为任意常数）为f(x)的第19页3.不定积分定义在区间I上的原函数全体称为其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C为积分常数不可丢!例如,xexdCexxxd2Cx331xxdsinCxcos分记作一、原函数与不定积分的概念第20页4.不定积分的几何意义积分曲线族，横坐标相同点处切线互相平行。yxo0x不定积分的图像是：一、原函数与不定积分的概念第21页例1设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xyyxo)2,1(一、原函数与不定积分的概念第22页基本积分表（逆向思维能力）xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln)1(二、不定积分的基本公式21d)4(xxCxarctan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarc第23页xxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot二、不定积分的基本公式xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln第24页xxfkd)()1(xxgxfd)]()([)2(xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k三、不定积分的性质)(d)(dd)1(xfxxfx或xxfxxfd)(d)(dCxFxxF)(d)()2(CxFxF)()(d或1.运算性质：2.求微分运算与求导运算互为逆运算：第25页例2求解原式=xxd34Cx134134Cx313例3求解原式=xxdsinCxcos例4求解原式=xexxd)23)2[()2ln()2(eex2ln23xCexx2ln512ln2C四、直接积分法第26页例5求解xxd)1(sec)1(2xxxddsec2Cxxtanxxxxxd)1()1()2(22xxd112xxd1xarctanCxln.d1)3(24xxxxxxd11)1()3(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313四、直接积分法第27页1.原函数与不定积分的联系与区别2.求导和求不定积分互逆关系得出基本公式3.直接积分法:利用恒等变形和性质后，再利用基本公式积分小结、思考题、作业小结1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?思考题作业同步训练3.1第4-7题第28页3.2积分的运算（1）•微积分基本公式二、牛顿－莱布尼兹公式一、积分上限函数及其导数三、直接积分法第29页3.2积分的运算（1）目标重点•掌握牛顿—莱布尼兹公式成立的条件，会正确使用其求定积分难点•使用时易忽视成立的条件•牛顿—莱布尼兹公式的使用第30页微积分基本公式一、积分上限函数及其导数)(xf],[ba1.定义在区间上连续且x为[a,b]上任一点，设函数称函数xxfxΦxad)()(为积分变上限函数。2.定理若函数)(xf],[ba在区间上连续那么xxfxΦxad)()(在[a,b]上可导，且)(d)(dd)(xfttfxxΦxabxa即连续函数必存在原函数。第31页微积分基本公式xxtetxsin0sindedd222sindsinxttxxxttxx2tandtandd4122例１计算：（1）（2）（3）二、牛顿—莱布尼兹公式定理)(xF)(xf],[ba若函数是连续函数在上的一个原函数baaFbFxxf)()(d)(babaaFbFxFxxf)()()(d)(则或第32页微积分基本公式例2求定积分：xxxd1221－xxd1110220d|1|xx0dexx解xxxd1221－xxxd)21(2122－xxd1110210arctan20d|1|xx2110d)1(d)1(xxxx0dexx0ex广义积分发散课堂训练：同步训练3.2第1题65213213xxx－4π1)21()21(212102xxxx0eelimbb第33页直接积分法例3直接积分法求下列积分：xxxd)1(1)3(22tttdcossin1)4(22xxxxd11d11322xxxxxxd21d1d221xxxd1113)1(22xxxxd211)2(2xxxxxd)1()1(2222tttttdcossincossin2222Cxxarcsinarctan3Cxxxx132Cxxarctan1xxx)d111(22tttdsin1cos122Cttcottan第34页例4求下列定积分：2π0d)sine()1(xxxxxxd1)2(1022xxd2cos2)3(π02xxd11)4(2xarctan1010102arctand111xxxx2π0)cose(xx直接积分法)0cose()2πcose(02π2e2π1arctan14π1π0π0sinxxπxxd2cos12π0π)arctan()arctan(第35页例5已知；1,21,1,1)(2xxxxxf,d)()1(11xx