证券投资组合优化chapt5

第五章单指数模型与多指数模型广东金融学院应用数学系罗桂美一、证券市场线与证券特征线(1)β值计算β==e.g.计算β值:三种股票组合M权重:XA=0.12,XB=0.19,XC=0.69rF=4%,三个股票的组合收益率22.4%.бIMбM2CovIMбM2CovijABCA0.01460.01870.0145B0.01870.08540.0104C0.01450.01040.0285一、证券市场线与证券特征线解:бM2=∑∑XiXjбij=0.0228бAM=0.12*0.0146+0.19*0.0187+0.69*0.145=0.0154бBM=0.12*0.018+0.19*0.0854+0.69*0.0104=0.0256бCM=0.0234βA=0.0154/0.0228=0.6754βB=1.1228βC=1.0263*也可以历史数据,通过回归方程,近似估计出β组合β=∑Xiβi以上例数据为例,组合βP=0.12*0.6754+0.19*1.1228+0.69*1.0263=1.002533i=1j=1ni=1一、证券市场线与证券特征线（2）证券价格高估低估与均衡定价①均衡定价βM===1,βA1,βF1落在SML上的点均为均衡定价。SMLMAβE（r）E（rB）E（rM）E（rA）rfβA=0.5βM=1βB=1.50SMLMABE（r）E（rB）E（rM）E（rA）бIm〈бM2бIm=бM2бImбM2бiMбMMбM2бM2бM2B一、证券市场线与证券特征线②非均衡定价SMLAMBβiβAβMβBFrrBerArMrAerBrf在βA相同情况下rA—rAe0，表示A证券被低估，大量被买入，收益率下降，价格上升，直到回到SML线，达到均衡。在βB相同情况下，rB—rBe0，表示B证券被高估，大量被卖出，收益率上升，价格下降，直到回到SML线，达到均衡。rA:预期收益率;rAe:均衡收益率非均衡程度测定аi系数аi=ri—[rf+（RM—rf）βi]аP=rP—[rf+（RM—rf）βP]式中аi为截距，βi为斜率一、证券市场线与证券特征线（3）证券特征线：ri—rf=аi+(rM-rf)βiri-rfrM—rfL1L2L3+а-а截距0说明：аi=0均衡定价аi0定价过低аi0定价过高最终趋向аi=0该式表明超额收益率由а与市场组合超额收益率和β乘积组成。以rM—rf为横轴，ri—rf纵轴，形成坐标，描绘两者关系为特征线。说明：аi=0均衡定价аi0定价过低аi0定价过高最终趋向аi=0二.指数模型与套利定价模型在运用马柯威茨理论时，必须要预先获得有关组合收益率、方差和协方差等历史数据。如果证券组合内的证券种类较多，计算量则相当大。例如，在沪深300股票形成的组合中，须要估计的参数就有45450个。但是在单指数模型中，相应只需估计n种证券的敏感系数bi收益率残差方差σ2(ei)和市场证券组合方差σ2M共2n+1个数据，威廉·夏普提出指数模型的分析方法，简化了计算量，为实际运用提供了一个很好的方法。一、指数模型的假定条件指数模型并不通过计算证券间的协方差来考虑证券间的关联性，而是认为证券之间之所以存在关联性，是因为存在某些共同的因素作用。证券间的关联性通过一种或几种因素的敏感性而产生。单个证券的收益率的影响来自3方面：宏观因素方面、微观因素方面和基本收益率。1n(n3)2二.指数模型与套利定价模型1.单指数模型在影响证券收益的众多因素中，投资者根据客观情况和自身的偏好，强调某一因素对证券收益率的决定性作用，这时他就分析该因素对证券收益率的影响。这种由单个因素所确定的收益模型就是单指数模型或称之为单因素模型，可表示为：iiiirabFeF因素可以是各种宏观因素，如国民生产总值、经济增长率和通货膨胀率等；bi为证券i对这种因素的敏感系数；ai为基本收益率，也称作零因素；ei为随机误差项，期望值为0。二.指数模型与套利定价模型如果选择市场证券组合收益率RM为宏观因素变动的综合反映，就可以得出1963年夏普所创立的单指数模型(thesingleindexmodel)，此处的F因素为RM：RiiiMire通过单指数模型，可以推导出证券i的期望收益率、方差和协方差：式中：σ2F为因素F的方差，叫因素风险(factorrisk)；σ2ei表示证券i的非因素风险(nonfactorrisk)，它是随机误差的方差；bi，bj表示证券i和证券j对F因素的敏感系数。2ijijFbb()()iiiErabEF2222iiFeib二.指数模型与套利定价模型对证券投资组合P来讲，组合的收益率为：111nnnPiiiiiiiiPPPRxaxbFxeabFenpiii1axanpiii1bxbnpiii1exe式中：同理也可以得到投资组合的风险构成：当投资相当分散时，有理由认为非因素风险会降到很小，可忽略2222PPFPbenpiii1bxbin222piei1exPe二.指数模型与套利定价模型单指数模型建立tttrabGDPe年份证券收益率(%)GDP增长率(%)114.35.7219.26.4323.47.9415.67.059.75.1613.02.9二.指数模型与套利定价模型利用表中的数据，用最小二乘法求出证券收益率公式中的系数a和b，也可以通过图形拟合出直线方程，如图所示。二.指数模型与套利定价模型二.指数模型与套利定价模型指数模型虽然不是一种资产定价的均衡模型，但它同均衡的资本资产定价模型存在一定的联系。CAPM可以看成是单一因素rM的指数模型，两模型参数之间存在以下关系：ai=rf、bi=βi和__MFr应当指出的是，不能把一般单指数模型中的bi同CAPM中的β系数等同，它们各有其定义背景和使用环境，βi只是bi中的一个特例，rM也只是F的一个特例。同样，指数模型中系数ai和前面介绍的α系数是截然不同的概念，不能将它们混淆。二.指数模型与套利定价模型2、多指数模型单指数模型一般只能近似地反映证券间的关联性，要准确反映证券收益率的多类影响因素，就必须引入多种变量。这些变量有：实际国民生产总值增长率、利率水平、通货膨胀率、失业率、国际收支和政府预算等现实社会中，影响证券收益率的各种因素之间往往存在着千丝万缕的关系，它们之间的协方差可能不为零。但是，只要做一定的数学处理，就可以剔除因素之间的相互影响，最后可以使公式中的各因数之间不再相关。类似单指数模型也可以假定不同因素间的协方差为零，残余收益率ei同各因素之间的协方差为零，不同的残余收益率em和en之间的协方差也为零。二.指数模型与套利定价模型在作了以上假设后，可以求出证券的期望收益率、方差和协方差。证券i的期望收益率是：1212iniiiinrabFbFbF公式表明，要求证券i的期望收益率，除了要估计参数模型中的ai，bi1，bi2，…，bin外，还需要估计出每个因素价值的期望值.证券i的方差是：因为假设各因素之间已没有关联性，所以公式中没有出现不同因素间的协方差项。122222222212niiFiFinFibbbe21knijikjkFkbb11nPnPPPPrabFbFe22221jjPkPPFejbjn222piiji1bxbpin222eiei1x二.指数模型与套利定价模型3.套利定价理论(APT模型)资本资产定价模型缺乏实证检验的支持。1976年，罗斯在指数模型基础上发展了资本资产定价理论，提出了套利定价理论(thearbitragepricingtheory，简记为APT)，该理论是能用经验数据加以检验的。（一）套利和市场均衡套利首先是指利用同一资产(实物资产或证券)在不同市场上存在的价格差异，通过低买高卖赚取利润的过程。其次又指同一市场不同品种间套利.大量套利者利用不合理的定价套利就会打破原先的供需格局，使价格发生波动，差价逐渐消失，相应的证券就在均衡价格处获得一种平衡。当某种价格水平使任何套利行为都不存在时，市场就处于一种均衡状态。套利定价模型就是要说明通过套利均衡价格是如何形成的,是从套利者的角度出发，考察市场不存在无风险套利机会而达到均衡时各证券及证券组合的定价关系。相对CAPM模型，套利定价模型没有太多苛刻的假设条件，同实际较为吻合。二.指数模型与套利定价模型收益率统计表股票现价（元）期望收益率（%）标准差（%）相关系数ABCDA102529.581.00-0.15-0.290.68B102033.91-0.151.00-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.871.000.22D1022.258.580.68-0.380.221.00二.指数模型与套利定价模型同一资产在不同市场上存在的价格差异而形成套利容易理解.以下看一个同一市场不同品种间套利的例子.各证券在不同环境下的收益率（%）高通胀低通胀高利率水平低利率水平高利率水平低利率水平概率（P）0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336二.指数模型与套利定价模型将A、B、C等权重组合成T与股票D比较在不同环境下T与D的收益率（%）高通胀低通胀高利率水平低利率水平高利率水平低利率水平投资组合T23.332023.3336.67股票D15152336综合考察投资组合T，股票D的期望收益率与标准差，显然，T优于D.E(rT)=25.83ρTD=0.9E(rD)=22.256.4T8.58D二.指数模型与套利定价模型可作零投资组合套利.股票投资额（万元）高通胀低通胀高利率水平低利率水平高利率水平低利率水平A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合0251512二.指数模型与套利定价模型4.1单因子模型如果各证券收益率只受一个共同因子F的影响，不需要知道这一因子是什么，那么证券i的收益率可以表示为：iiiirbFea公式中各参数满足以下条件：E(F)=0，E(ei)=0,cov(ei，F)=0，cov(ei，ej)=0对组合P而言：PPPPrbFea二.指数模型与套利定价模型4.2单因子套利定价模型如果各证券收益率只受一个共同因子F的影响，不需要知道这一因子是什么，那么证券i的期望收益率可以表示为：()([])iFFFiErEbrrr式中：ri表示证券i的未来收益率；代表无风险收益；bi是某证券i收益率对F因子的敏感程度，也叫风险因子.公式中各参数满足以下条件：E(F)=0，E(ei)=0,cov(ei，F)=0，cov(ei，ej)=0Fr二.指数模型与套利定价模型4.3两因子模型和两因子套利定价模型如果各证券收益率只受两个共同因子的影响，那么证券i的收益率可以表示为：12,FF1212iiiiirbbaeFF1212()([])([])iiiFFFErbEbEFFrrrrr二.指数模型与套利定价模型4.4纯因素模型：敏感系数构造纯因素模型的例子例：假定A,B,C三种证券有下列灵敏度证券A-0.41.75B1.6-0.75C0.67-0.25PPrFa1ib2ib1122...1Pnnbxbxbxb(1)A,B,C的权重分别为0.3,0.7和0；(2)A,B,C的权重分别为0.625,0和0.375；二.指数模型与套利定价模型补例：下图β值为1的充分分散的组合P与单个证券Q收益率与共同因子的关系图。假设P与Q期望收益率为10%()0.11()0.11pppQQQQQEFFrErFeFerr二.指数模型与套利定价模型001010P的收益率(%)Q的收益率(%)FF组合P及单个证券Q的收益率与共同因子的关系二.指数模型与套利定价模型若有另一