： 经济数学模型

第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua⒈课程名称：经济数学模型学分：2教师：毛瑞华电话：[phone]E-mail:[e-mail]@126.com(123456)QQ：459519390第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua2.参考书1.宏观经济数量分析方法与模型,刘起运主编,高等教育出版社2.经济数学模型,洪毅等编著华南理工大学出版社3.经济学中的分析方法,高山晟(美)著,刘振亚译,中国人民大学出版社4.经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特著,上海财经大学出版社5.经济学的结构---数量分析方法,EugeneSilberberg,WingSuen著,清华大学出版社第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua第一部分经济数学模型的概念及建模方法简介第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua§1.1数学模型和模型的建立一、模型和数学模型1.模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2.数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(1)对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2)给出描述问题的数学提法；(3)利用数学理论和方法或计算机进行分析,得出结论；(4)利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3.需要解决几个问题：第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua4.数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出设市场上有n种资产Si(i=1,2,…,n)可供投资者选择,某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这n种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产Si的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si的风险损失为qi。考虑到投资越分散,总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。购买资产Si的需要支付交易费,其费率为pi,并且当购买额不超过ui时,交易费按购买额ui计算。设同期银行存款利率是r0=5%,且存取款时既无交易费也无风险。第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua2.对问题的定位：最优化问题需要确定购买资产Si的具体投资额xi,即建立投资组合，实现两个目标：(1)净收益最大化；(2)整体风险最小化；第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua3.建模准备：(1)决策变量：资产Si(i=0,1,…,n)的投入量xi,i=0,1,…,n,其中S0表示将资产存入银行。(2)投资收益：购买资产Si(i=0,1,2,…n)的收益率为ri,因此投资xi的收益率为rixi,除去交易费用ci(xi),则投资xi的净收益为Ri=rixi-ci(xi)。从而，总投资的总收益为R(x)=Ri(xi)。用数学符号和公式表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(3)投资风险：购买资产Si(i=0,1,2,…n)的风险损失为qi,因此投资xi的收益率为qixi,其总体风险用Si的风险,即Qi(xi)=qixi中最大的一个来度量.从而总投资的风险损失为Q(x)=max{Qi(xi)}。(4)约束条件：000,0;(),0;1,,,()0.,.iiiiiiiiiiixcxpuxuincxpxxu0(I)()niiiixcxM第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(II).记x=(x0,x1,x2,…,xn)T,1=(1,1,1,…,1)T,c=(c0,c1,c2,…,cn)T,r=(r0,r1,r2,…,rn)T,1cxxx1crxxTniiiiniTTniiixfFxQQxRR000)()()(max)()()(总净收益R(x),整体风险Q(x)和总资金F(x)各为0()min(),0()inQFMRxxxx4.两目标优化模型第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua5.单目标优化模型求解模型,Mqk令模型1求最大化收益。给定风险水平,qmax()..(),(),0RstQkFMxxxx求解模型模型2求最小化风险。,r给定盈利水平,Mrh令min()..(),(),0QstRhFMxxxx模型3给定投资者对风险-收益的相对偏好参数0,求解模型0,)(..)()1()()(minxxxxxMFtsRQS第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua6.简化交易费用下的模型.,;0,;0,0)(iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxcuipiuixici0(1)交易费用函数为第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(2)由于固定费用piui的存在在,使得模型是非线性模型,难于求解模型。表示投资于Si的资金比例。在实际计算中，常假设M=1，则Mxpniii0)1(当M很大而ui相对较小时,可略去piui的作用,即ci(xi)=pixi,则资金约束条件变为：第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(3)简化交易费用下的模型：LP1：11max..,11,0.niiiiniiiiiirpxstqxkpxxLP2：11minmax..,11,0.iinniiiiiiiiqxstrpxhpxx第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-MaoruihuaLP3：1011min(1)..,11,0.nniiiiniiniiiixrpxstqxxpxx第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua§1.2优化模型的求解方法(1)一元函数的无(有)条件极值；(2)多元函数的无(有)条件极值；(3)*线性(或非线性)规划方法；第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua定理1(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf(1)一元函数的极值与最大(小)值第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua二、最大值与最小值问题求函数最值的方法:(1)求f(x)在(a,b)内的极值可疑点x1,x2,…,xm;若函数f(x)在[a,b]上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到.(2)最大值maxM,)(af)(bf最小值第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua当f(x)在[a,b]内只有一个极值可疑点时,•若在此点取极大(小)值,则也是最大(小)值.•当f(x)在[a,b]上单调时,最值必在端点处达到.•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua20AB100CxD例1.铁路AB段的距离为100km,工厂C距A处20km,AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省,问D点应如何选取?第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua(k为某一常数)解:设,(km)xAD则,2022xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky令得又所以为唯一的极小点,15x故AD=15km时运费最省.总运费从而为最小点,第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua例2.一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-Maoruihua解：设点A到水面的垂直距离为AO=h1,点B到水面的垂直距离为BQ=h2,x轴沿水面过点O、Q,,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从A点到B点应该经过折射点P,其路径为折线APB,所需时间为：2211()hxTxv2222(),hlxv0,,xl当x[0,l]时,2222121211(),()xlxTxvvhxhlx2212332222121211()0,()hhTxvvhxhlx(0)0,()0,TTl第一章引论©CollegeofEconomics,SWUN,2007EconomicalmathematicModel-MaoruihuaT(x)在[0,