02投资优化

第一讲优化模型之投资优化优化模型是数学建模常见的模型，相应于实际中的数学规划问题。线性规划是最基本的数学规划问题，此外还有整数规划、0­1规划、非线性规划、目标规划、动态规划等。本章先介绍一个简单的引例，然后介绍优化问题的基本概念和基本理论，只给出相关的定理结论，不作证明，然后给出两个案例，介绍数学建模的完整过程，最后适当介绍线性规划之外的其它规划问题。§1 优化模型简例§2 线性规划基本理论线性规划问题（LP）的标准化数学模型为： 1122 max(min) T nn fcxcxcxfCX=+++Þ=L（2­1） 11112211 21122222 1122 .. nn nn mmmnnm axaxaxb axaxaxb stAXb axaxaxbì+++=ïïïï+++=ïïÞ=íïïïï+++=ïïîLLLLLL（2­2） 12 0,0,,00 n xxxX³³³Þ³L（2­3）其中 12 (,,,) T n Xxxx=L称为决策变量（decision variable），一般取非负实数值，每一组值都表示一个具体方案；线性规划模型的共同特点： (1) 都可以用一组变量表示，这组未知变量即决策变量，它们的不同线性组合表示一个具体方案； (2) 都有一个目标要求，即目标函数，按研究的问题不同，要实现目标函数的最大值或最小值； (3) 都有人力、物力、资金等限制，这些限制可以用一组线性等式或不等式表达，即约束条件； (4) 都必须完整地用数学语言描述出来，即通常所说的线性规划问题的数学模型（2­1） ­ （2­3）。称（2­1）为目标函数（Object function），即需要被优化（最大化或最小化）的线性函数，此函数一般与所有的决策变量都有关，极少数情况下只涉及部分决策变量，最大化和最小化之间可以通过 ff¢=-进行转化； 12 (,,,) T n Cccc=L为目标函数的系数矩阵（向量）。称（2­2）为约束条件（Constraint condition），由一组线性的等式和不等式构成，表示实际问题受人力、物力、时间等资源的限制，决策的结果不能超越的条件；任何不等式约束都可以通过增加松弛变量修改为等式约束。称（2­3）为决策变量的非负约束，即决策变量的取值必须非负，最少是 0；实际问题中决策变量如果要求取负值，也可能利用 ii yx=-进行转化，Lingo 软件也可以放松该假设。满足（2­2）和（2­3）的解称为（LP）的可行解；所有可行解的集合称为可行集或可行域；满足（2­1）的可行解称为最优解。 2.2 线性规划基本性质线性规划模型与实际问题紧密相连，一般具有如下基本性质：第一，线性性。即目标函数（2­1）和约束条件（2­2）都必须是决策变量的线性形式，如果（2­1）或（2­2）中的任何一个约束不满足决策变量的线性关系，那么这个规划问题就称为非线性规划。第二，可分割性。在一个可接受的解决方案中，决策变量的取值要满足线性约束条件，小数解可以接受。如果不允许决策变量取小数或分数，只能取整数，那么这样的规划问题就称为整数规划；如果决策变量只允许取0或1，那么这样的规划问题就称为0­1规划；如果部分变量有特殊要求，则称为混合规划。第三，确定性。目标函数和约束条件中的所有系数都必须是确定的，这是一个很强的假设；在求出问题的解后，我们可以讨论参数的变化对最优解的影响，但这并不意味着系数是不确定的；如果目标函数的系数或约束条件中的系数具有不确定性或模糊性，那么这样的问题将属于随机规划问题或者模糊规划问题，需要相关的知识进行求解。第四，可行性。线性规划问题不能保证一定可以找到最优解，软件求解常见的结果是解决方案无界（unbounded）或不可行（infeasible），有时甚至可行解集为空集。实际问题中，产生无界的原因通常是目标函数中的系数输入错误或者是忘记了某个约束条件；造成不可行的原因则可能是无法找到同时满足所有约束条件的决策变量值，即可行域是空集。这时需要决策者适当修改问题假设，调整约束条件，重新建立模型，重新求解。 2.3 线性规划模型的基本结论对于线性规划模型（2­1）—（2­3），设问题的可行解集为M ，如果对于某个 * XMÎ，使得对于其它的任意XMÎ，都有 * ()() fXfX£（或 * ()() fXfX³），则称 * X 是该线性规划问题的最优解，称 * () fX 为该线性规划问题的最优值。定义 2­1 对于 , XYMÎ及 ) 1 , 0 (Îl，如果有 (1) ZXYMll=+-Î，则称可行域M 为凸集。定义 2­2 对于凸集 M 中的点 K ，如果不存在不同的两点 XYMÎ、及 ) 1 , 0 (Îl，使得等式 (1) KXYll=+-成立，则称K 为凸集M 的顶点或极点。定义 1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中；而定义 2 说明，若K 是凸集的一个顶点，则K 不能位于凸集中任意两点的连线上。命题 2­1：如果线性规划问题（2­1）—（2­3）的可行域M 非空，则其可行域M 是凸集。命题 2­2：如果线性规划问题（2­1）—（2­3）的可行域M 有界，则目标函数一定在顶点处达最优。命题 2­3：如果目标函数在两个不同顶点处达到最优，那么在这两个顶点的凸组合上也达最优，即该线性规划问题有无穷多个最优解。命题 2­4：如果线性规划问题的可行域无界，则目标函数可能没有最优解，也可能有最优解；如果有最优解，则最优解必在顶点处达到。以上命题不作严格证明，另外，还有一些与线性规划模型相关的定理结论，有兴趣的读者请参考其它文献资料。§3 实际问题建模（一） 3.1 实例 2：风险投资问题假设某金融市场上有多种金融资产（如股票、债券等）可供投资者选择。某公司拥有一笔数额为 M（如 1 亿）元的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司专业人员对某 4 种资产 i S （i=1,2,3,4）进行了风险收益分析评估，估计结果为购买资产 i S 的平均收益率为 i r，并预测出购买资产 i S 的风险损失率为 i q ，考虑到投资 4 种资产的风险比投资一种资产的风险要小，因此，公司决定总体风险用所投资的4 种资产中最大的一个风险来度量。另外，购买金融资产时要付手续费，假设费率为 i p ，并且当购买额不超过定值 i u 时，手续费按 i u 计算，不买卖资产时无需付费。具体数据如下表。表 3­1 资产 i S 平均收益率 % i r 风险损失率 % i q 手续费率 % i p i u （元） S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 进一步假定同期银行存款利率 0 5% r =，在银行存款时既无交易费，也无风险。 1）试设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使公司的净收益尽可能大，而总体风险尽可能地小。 2）试就一般情况对以上的问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。表 3­2 资产 i S 平均收益率 % i r 风险损失率 % i q 手续费率 % i p i u （元） S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 4.7 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 475 S10 36.8 40 2.9 248 S11 11.8 31 5.1 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131 3.2 问题的分析与假设资产的风险主要是由资产预期收益的不确定性导致的。如果假设 i x 为 0 时刻对第 (1,2,3,4) ii=种资产的实际投资额，则投资 i S 的收益为 ii xr 、风险损失为 ii xq 。进一步假设银行存款额为x 0 ，在无交易费用情形下有 4 01234 0 i i xxxxxxM==++++=å要使净收益尽可能地大、风险损失尽可能地小，较好的办法是进行资产组合，分散风险，以期获得较高的收益。为此，先作如下假设： 1. 公司投资是理性的，坚持“效用最大化”原则，即给定一定的风险水平，投资者选择期望收益最高的资产组合；给定一定的期望收益水平，投资者选择风险损失最低的资产组合。 2. 资本市场是完善的，即公司可以以无风险利率自由地从银行借入或借出资金，可以以市场价格在市场上买入或卖出资产，且公司的任何买卖行为不影响资产的市场价格。 3. 除了资产买入卖出交易手续费外，不再有其他费用。 3.3 模型的建立首先必须建立问题的数学模型，然后再作必要的处理，最后再求解和分析。投资者的净收益等于购买各种资产（包括银行资产）的总期望收益减去交易手续费。 1）交易费对于资产 i S ，由于投资额 i x 的不同，导致交易费用不同。如果对 i S 的投资 ii xu £时，交易费为 ii up ，当 ii xu 时，交易费为 ii px ，这是一个分段函数。记 0,0; (),0;(1,2,3,4) ,. i iiiii iii x xuxui xxujj=ìï==£=íïî当当当则购买4种资产所付总交易费用为 4 1 ()() ii i cxpxj==å . 2）净收益设投资者的净收益为R，则 44 00 11 iiii ii Rrxrxpj===+-åå 3）风险损失投资者进行投资组合时所承担的风险按单项投资中风险损失金额的最大值度量，不妨记为Q，则有 11223344 14 max{,,,}max{} ii i Qqxqxqxqxqx££== 4）模型建立根据以上分析，本问题是在满足资金约束条件下进行投资组合，使净收益尽可能大、使总体风险尽可能小，因此可建立如下模型： 14 44 00 11 minmax{} max ii i iiii ii Qqx Rrxrxpj££====+-åå44 0 11 0 0,0 ,0 .. , 0,1,2,3,4 0, iii ii i iiii iii i xxpM x uxu st xxu xi xjj==ì++=ïï=ìïïï=ííï³ïîï³=ïïîåå表示从银行借款.这是一个双目标投资决策模型，为了便于求解，将第二个目标修改为等价形式： minQQ =，增加约束 ii xqQ £，并要求 0 0 x ³，则上述模型转化为： 44 00 11 44 00 11 min,max ,0 0,0 ..,0 , 0,0,1,2,3,4 iiii ii iii ii i iiii iii iii QQRrxrxp xxpMx x stuxu xxu xqQxijjj======+-ì++=³ïï=ìïï=ííïï³îïï-£³=îåååå（3­1） 3.4 模型的求解 1）模型的简化一个双目标投资决策模型的处理方法主要有三种，令 44 0 11 () iii ii Fxxxpj===++åå并记 01234 [,,,,] T xxxxxx =，符号T 表示转置。方法 1：固定风险水平，最大化净收益，得模型1： max(), ..(), ().0 Rx stQxk FxMx ìï£íï=³î（3­2）方法 2：固定收益水平，最小化风险，得模型2： min(), ..(), ().0 Qx stRxh FxMx ìï³íï=³î（3­3）方法 3：确定投资者对风险——收益的相对偏好参数01l££，得模型3： min()(1)(), ..().0 QxRx stFxMxll--ìí=³î（3­4）其中加权系数l称为投资偏好系数，根据投资者的风险厌恶（喜好）程度确定。在这三个模型中，选择不同的水平 , kh和不同偏好系数l进行求解，即可揭示投资者的收益和风险之间的相互依存规律，再根